解答つき多変数の微分積分ワークシート

無料で印刷できる多変数の微分積分のワークシート：やさしい問題から試験レベルまで 6 問、解答つき。印刷するか PDF で保存できます。

新しいワークシートヒントつきでオンライン練習

先生方へ： 授業で自由に印刷・コピーしてお使いいただけます。新しいワークシートごとに数値が変わり、専用の解答が付きます。授業ページに ExamProblems へのリンクを載せていただけると嬉しいです。

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1.やさしい
xy31P

f(x, y) = −3x²y³ − 4x² + 4y² について、点 (3, 1) での偏導関数 ∂f/∂x を求めてください。

f(x, y) = −3x²y³ − 4x² + 4y²P = (3, 1)
fx(3, 1) =
2.やさしい
xyx = 2y = 5y = 2252

長方形 0 ≤ x ≤ 2、2 ≤ y ≤ 5 上で、I = ∫02 ∫25 (y² − 4) dy dx を計算してください。

f = y² − 40 ≤ x ≤ 22 ≤ y ≤ 5
I =
3.ふつう
xy10.5∇fP

f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²) について、点 (1, 0.5) での f の変化率の最大値、つまり |∇f| を求めてください。

f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²)P = (1, 0.5)
|∇f| =
4.ふつう

z = −4x³y³ − 3y³ − 3xy、x = t − 2、y = t² − 2 です。連鎖律を使って、t = −1 での dz/dt を求めてください。

z = −4x³y³ − 3y³ − 3xyx = t − 2y = t² − 2t = −1
dz/dt =
5.むずかしい
xyy = 0.8y = x0.80.8

積分 I = ∫00.8 ∫x0.8 cos(y²) dy dx は、この順序では計算できません。積分の順序を入れ替えて計算してください。

f = cos(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 0.8
I =
6.むずかしい
xy1

極座標を使って、I = ∬R (x² + y²) dA を計算してください。R は 円板 x² + y² ≤ 1 です。

f = x² + y²0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π
I =

解答

  1. 1. fx(3, 1) = −42
  2. 2. I = 54
  3. 3. |∇f| = 6.708
  4. 4. dz/dt = −537
  5. 5. I = 0.2986
  6. 6. I = 1.571

ステップごとの詳しい解答：このトピックは examproblems.com で練習できます。