解答つき多変数の微分積分ワークシート

無料で印刷できる多変数の微分積分のワークシート：やさしい問題から試験レベルまで 6 問、解答つき。印刷するか PDF で保存できます。

新しいワークシートヒントつきでオンライン練習

先生方へ： 授業で自由に印刷・コピーしてお使いいただけます。新しいワークシートごとに数値が変わり、専用の解答が付きます。授業ページに ExamProblems へのリンクを載せていただけると嬉しいです。

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1.やさしい
xyx = 1x = 3y = 2y = 11321

長方形 1 ≤ x ≤ 3、1 ≤ y ≤ 2 上で、I = ∫13 ∫12 (3xy² − 4) dy dx を計算してください。

f = 3xy² − 41 ≤ x ≤ 31 ≤ y ≤ 2
I =
2.やさしい
xy−1−1P

f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²) について、点 (−1, −1) での偏導関数 ∂f/∂y を求めてください。

f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²)P = (−1, −1)
fy(−1, −1) =
3.ふつう
xy12∇fP

f(x, y) = 3x³y² − 5x³ + 3y³ + 3xy について、(1, 2) で最も急に増加する方向を、正の x 軸からの角度 θ として、−180° から 180° の間で、度で求めてください。

f(x, y) = 3x³y² − 5x³ + 3y³ + 3xyP = (1, 2)
θ = °
4.ふつう

z = −x²y³ + x³ + 2y² − xy、x = 3t、y = −t² + 1 です。連鎖律を使って、t = 1 での dz/dt を求めてください。

z = −x²y³ + x³ + 2y² − xyx = 3ty = −t² + 1t = 1
dz/dt =
5.むずかしい
xyy = 2y = x22

積分 I = ∫02 ∫x2 1/(1 + y²)² dy dx は、この順序では計算できません。積分の順序を入れ替えて計算してください。

f = 1/(1 + y²)²0 ≤ x ≤ y ≤ 2
I =
6.むずかしい
xy0−4−202(2, −3)(−2, −3)

f(x, y) = x³ − 12x + y² + 6y の臨界点を求めて分類し、極小での f の値 fmin を答えてください。

f(x, y) = x³ − 12x + y² + 6y
fmin =

解答

  1. 1. I = 20
  2. 2. fy(−1, −1) = −4.8
  3. 3. θ = 62.1 °
  4. 4. dz/dt = 87
  5. 5. I = 0.4
  6. 6. fmin = −25

ステップごとの詳しい解答：このトピックは examproblems.com で練習できます。