解答つき多変数の微分積分ワークシート

無料で印刷できる多変数の微分積分のワークシート：やさしい問題から試験レベルまで 6 問、解答つき。印刷するか PDF で保存できます。

新しいワークシートヒントつきでオンライン練習

先生方へ： 授業で自由に印刷・コピーしてお使いいただけます。新しいワークシートごとに数値が変わり、専用の解答が付きます。授業ページに ExamProblems へのリンクを載せていただけると嬉しいです。

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1.やさしい
xy1−3P

f(x, y) = −3xy − 5x² + y² について、点 (1, −3) での偏導関数 ∂f/∂x を求めてください。

f(x, y) = −3xy − 5x² + y²P = (1, −3)
fx(1, −3) =
2.やさしい
xyx = 1y = 111

長方形 0 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ 1 上で、I = ∫01 ∫01 (2x²y − 2) dy dx を計算してください。

f = 2x²y − 20 ≤ x ≤ 10 ≤ y ≤ 1
I =
3.ふつう

z = 2 ln(x² + y²)、x = −t、y = t² です。連鎖律を使って、t = −1 での dz/dt を求めてください。

z = 2 ln(x² + y²)x = −ty = t²t = −1
dz/dt =
4.ふつう
xy−1−1∇fP

f(x, y) = ln(x² + 3y²) について、点 (−1, −1) での f の変化率の最大値、つまり |∇f| を求めてください。

f(x, y) = ln(x² + 3y²)P = (−1, −1)
|∇f| =
5.むずかしい
xy−202−202(0, 0)(2, 2)(−2, −2)

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy の臨界点を求めて分類し、極小での f の値 fmin を答えてください。

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy
fmin =
6.むずかしい
xyy = 1y = x11

積分 I = ∫01 ∫x1 1/(1 + y²)² dy dx は、この順序では計算できません。積分の順序を入れ替えて計算してください。

f = 1/(1 + y²)²0 ≤ x ≤ y ≤ 1
I =

解答

  1. 1. fx(1, −3) = −1
  2. 2. I = −1.667
  3. 3. dz/dt = −6
  4. 4. |∇f| = 1.581
  5. 5. fmin = −32
  6. 6. I = 0.25

ステップごとの詳しい解答：このトピックは examproblems.com で練習できます。