解答つき多変数の微分積分ワークシート

長方形 1 ≤ x ≤ 2、0 ≤ y ≤ 3 上で、I = ∫₁² ∫₀³ (−xy + 1) dy dx を計算してください。

f(x, y) = −x³y³ − 2x² + 2xy について、点 (−1, −3) での偏導関数 ∂f/∂y を求めてください。

f(x, y) = −x³y² − x² − 2y² について、点 (−1, 3) での f の変化率の最大値、つまり |∇f| を求めてください。

f(x, y) = ln(x² + 3y²) について、(1, 1) での v = (3, 3) の方向の方向微分 D_uf を求めてください。

f(x, y) = −x³ + 27x − y² + 6y は (3, 3) に臨界点をもちます。そこでの判別式 D = f_xxf_yy − f_xy² を計算してください。

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy の臨界点を求めて分類し、極小での f の値 f_min を答えてください。