解答つき多変数の微分積分ワークシート

無料で印刷できる多変数の微分積分のワークシート：やさしい問題から試験レベルまで 6 問、解答つき。印刷するか PDF で保存できます。

新しいワークシートヒントつきでオンライン練習

先生方へ： 授業で自由に印刷・コピーしてお使いいただけます。新しいワークシートごとに数値が変わり、専用の解答が付きます。授業ページに ExamProblems へのリンクを載せていただけると嬉しいです。

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1.やさしい
xy−32P

f(x, y) = xy³ + 4x³ + 2y² + xy について、点 (−3, 2) での偏導関数 ∂f/∂y を求めてください。

f(x, y) = xy³ + 4x³ + 2y² + xyP = (−3, 2)
fy(−3, 2) =
2.やさしい

f(x, y) = x³y² − x² + y² − 2xy について、(1, −2) での 2 階偏導関数 ∂²f/∂y² を求めてください。

f(x, y) = x³y² − x² + y² − 2xyP = (1, −2)
fyy(1, −2) =
3.ふつう
xy3−2∇fP

f(x, y) = 2x²y² + 3x² − 5y³ + 3xy について、点 (3, −2) での f の変化率の最大値、つまり |∇f| を求めてください。

f(x, y) = 2x²y² + 3x² − 5y³ + 3xyP = (3, −2)
|∇f| =
4.ふつう

z = −x²y³ − 2x² + 2y² + xy、x = 2t、y = −2t² + 1 です。連鎖律を使って、t = 0 での dz/dt を求めてください。

z = −x²y³ − 2x² + 2y² + xyx = 2ty = −2t² + 1t = 0
dz/dt =
5.むずかしい
xyy = 1.5y = x1.51.5

積分 I = ∫01.5 ∫x1.5 1/(1 + y²)² dy dx は、この順序では計算できません。積分の順序を入れ替えて計算してください。

f = 1/(1 + y²)²0 ≤ x ≤ y ≤ 1.5
I =
6.むずかしい
xy30.5

極座標を使って、I = ∬R √(x² + y²) dA を計算してください。R は 円環 0.25 ≤ x² + y² ≤ 9 です。

f = √(x² + y²)0.5 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ 2π
I =

解答

  1. 1. fy(−3, 2) = −31
  2. 2. fyy(1, −2) = 4
  3. 3. |∇f| = 136.9
  4. 4. dz/dt = 2
  5. 5. I = 0.3462
  6. 6. I = 56.29

ステップごとの詳しい解答：このトピックは examproblems.com で練習できます。