AP Statistics 연습 문제: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 27, 51, 35, 31, 24, 18, 50.

n = 7

s =

2.기술통계어려움

시험 점수는 평균 50, 표준편차 10인 정규분포를 따릅니다. 38점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 50σ = 10x = 38

z =

3.확률보통

주머니에 빨간 공 7개와 파란 공 7개가 있습니다. 첫 공을 다시 넣지 않고 두 개를 꺼냅니다. 두 공이 모두 빨간 공일 확률 P는 얼마일까요?

7 / 7

P =

4.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €10이 듭니다. 확률 0.2로 €30을, 확률 0.02로 €100을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €10€30: p = 0.2€100: p = 0.02

E(G) = €

5.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 z의 오른쪽 색칠한 넓이가 0.9633이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.9633

z =

6.정규분포어려움

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 하위 5%가 왼쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 100 점σ = 15 점5%

x = 점

7.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 5

r² =

8.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (4.5, 53)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 5(4.5, 53)

e =

9.신뢰구간보통

항목 12개의 표본 평균은 85, 표준편차는 s = 17입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 12x̄ = 85s = 1790%t(11) = 1.796

하한 =

10.신뢰구간어려움

두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 7개 구획, 평균 수확량 91.5 kg, 표준 편차 5 kg. 구획 집단 2: 9개 구획, 평균 99.5 kg, 표준 편차 6.5 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하시오.

n₁ = 7x̄₁ = 91.5s₁ = 5n₂ = 9x̄₂ = 99.5s₂ = 6.590%t(14) = 1.761

상한 = kg

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 16명 표본의 평균 점수는 193.4, 표본 표준편차는 12입니다. H₀: μ = 200에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 200x̄ = 193.4s = 12n = 16

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 25개의 표본 평균은 100.4입니다. 모표준편차는 5입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.

x̄ = 100.4σ = 5n = 2599%

U =

13.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1202 × 3

χ² =

14.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.01에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2603 × 2α = 0.01

χ² =

3용액

1.기술통계

답: s = 12.65

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 236/7 = 33.71

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−6.714)² + 17.29² + 1.286² + (−2.714)² + (−9.714)² + (−15.71)² + 16.29² = 959.4

표준편차

s = √(959.4/6) = 12.65

답

s = 12.65

2.기술통계

답: z = −1.2

표준화하기

z = (38 − 50)/10 = −1.2

답

z = −1.2

3.확률

답: P = 0.2308

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

첫 번째와 두 번째 꺼내기

P = 7/14 · 6/13 = 42/182 = 0.2308

답

P = 0.2308

4.확률

답: E(G) = −2 €

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

순 결과

G: 20 (p = 0.2), 90 (p = 0.02), −10 (p = 0.78)

기댓값

E(G) = 20·0.2 + 90·0.02 − 10·0.78 = −2 €

답

E(G) = −2 €

음수는 평균적으로 돈을 잃는다는 뜻입니다.

5.정규분포

답: z = −1.79

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = 1 − 0.9633 = 0.0367

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.0367을 찾아 z를 읽으세요.

z = −1.79

답

z = −1.79

6.정규분포

답: x = 75.4 점

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.05

표에서 구한 z

z ≈ −1.64

원래 단위로 되돌리기

x = 100 − 1.64·15 = 75.4 점

답

x = 75.4 점

7.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.8762

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 118/5 = 23.6

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 41.2

결정계수

r² = −19²/(10·41.2) = 0.8762

답

r² = 0.8762

y의 변동 중 약 87.62%가 직선으로 설명됩니다.

8.선형 회귀와 상관

답: e = 5.15

평균

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 257/5 = 51.4

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 71

회귀직선

b = 71/10 = 7.1

a = 51.4 − 7.1·5 = 15.9

ŷ = 15.9 + 7.1·x

예측값

ŷ = 15.9 + 7.1·4.5 = 47.85

잔차

e = 53 − 47.85 = 5.15

답

e = 5.15

점이 직선 위쪽에 있습니다.

9.신뢰구간

답: 하한 = 76.19

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 11, t = 1.796

오차 한계

E = 1.796·17/√12 = 8.814

구간

85 ± 8.814 → [76.19, 93.81]

답

하한 = 76.19

10.신뢰구간

답: 상한 = −2.76 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

합동 표준 편차

s_p² = (6·5² + 8·6.5²)/14 = 34.86

s_p = 5.904

오차 한계

E = 1.761·5.904·√(1/7 + 1/9) = 5.24

구간

−8 ± 5.24 → [−13.24, −2.76]

답

상한 = −2.76 kg

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −2.2

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

검정통계량

t = (193.4 − 200)/3 = −2.2

답

t = −2.2

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| > 2.131이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: U = 103

오차 한계

E = 2.576·5/√25 = 2.576

구간 끝값

U = 100.4 + 2.576 = 103

답

U = 103

13.카이제곱 검정

답: χ² = 3.012

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

주간 근무: 40·24/120 = 8, 40·36/120 = 12, 40·60/120 = 20

야간 근무: 80·24/120 = 16, 80·36/120 = 24, 80·60/120 = 40

카이제곱 통계량

χ² = (11 − 8)²/8 + (13 − 12)²/12 + (16 − 20)²/20 + (13 − 16)²/16 + (23 − 24)²/24 + (44 − 40)²/40

χ² = 3.012

답

χ² = 3.012

df = 2. α = 0.05에서 임곗값은 5.991이므로 H₀(독립)은 기각되지 않습니다.

14.카이제곱 검정

답: χ² = 15.85

기대 도수

18–30세: 40, 40

31–50세: 50, 50

51세 이상: 40, 40

카이제곱 통계량

χ² = (36 − 40)²/40 + (44 − 40)²/40 + (65 − 50)²/50 + (35 − 50)²/50 + (29 − 40)²/40 + (51 − 40)²/40

χ² = 15.85

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 9.210

15.85 > 9.210

답

χ² = 15.85

χ²이 임곗값보다 크므로 H₀을 기각합니다. 두 변수는 관련이 있는 것으로 보입니다.

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