CFA Level I 계량 분석 및 채권 연습: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
반기 지급: C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률: C/P
가격과 수익률: 수익률 상승 → 가격 하락

방법

기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
기업 가치: V = E + D

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통

신용카드의 명목 이자율은 연 15%, 매일 복리이다. 실효 연이율 EAR을(를) 퍼센트로 구하시오.

r = 15%m = 365

EAR = %

2.화폐의 시간 가치어려움

€12 000의 대출을 4년 동안 매달 같은 금액으로 상환합니다. 이율은 연 4.8%, 월 복리입니다. 월 상환액 A를 구하세요.

P = €12 0004.8% / 12N = 48

A = €

3.NPV와 IRR보통

한 프로젝트는 오늘 €500 000이(가) 든다. 첫해 말 €28 000을(를) 창출하고, 이후 현금흐름은 매년 1%씩 영구히 증가한다. 자본 비용은 8%이다. 순현재가치 NPV을(를) 구하시오.

C₀ = €500 000CF₁ = €28 000g = 1%r = 8%

NPV = €

4.NPV와 IRR어려움

어떤 프로젝트는 €25 000이 들고 1년 차부터 3년 차 말까지 €15 500, €13 500, €12 500을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF₀ = −25 000CF₁ = 15 500CF₂ = 13 500CF₃ = 12 500

IRR = %

5.채권 가격과 수익률보통

액면가 €1 000인 채권이 7년 후 만기이며 연 이표를 지급한다. 만기 수익률이 3%일 때 €1 312에 팔린다. 이표율 c을(를) 퍼센트로 구하시오.

F = €1 000n = 7P = €1 312YTM = 3%

c = %

6.채권 가격과 수익률어려움

액면가 €1 000, 연 이자율 8%인 채권이 3년 후 만기이며 €950에 거래됩니다. 만기 수익률 YTM을(를) 퍼센트로 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 8%n = 3P = €950

YTM = %

7.CAPM과 WACC보통

어떤 회사가 €3 000 000의 자기자본과 €5 000 000의 부채을(를) 가지고 있습니다. 자기자본 비용은 11%, 세전 부채 비용은 7%, 세율은 28%입니다. WACC를 구하세요.

E = €3 000 000D = €5 000 000r_e = 11%r_d = 7%T = 28%

WACC = %

8.CAPM과 WACC어려움

어떤 회사가 주당 €33.50인 주식 1 000 000주와 개당 €1 050에 거래되는 채권 40 000개을(를) 가지고 있습니다. 세전 부채 비용은 4%, 세율은 20%입니다. 주식의 베타는 1.2, 무위험 이자율은 1%, 시장 수익률은 8%입니다. WACC를 구하세요.

β = 1.2r_f = 1%r_m = 8%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

9.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 29, 45, 38, 52, 18, 19.

n = 6

s =

10.기술통계어려움

시험 점수는 평균 70, 표준편차 20인 정규분포를 따릅니다. 110점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 70σ = 20x = 110

z =

11.확률보통

공정한 주사위를 3번 던집니다. 6이 적어도 한 번 나올 확률 P는 얼마일까요?

n = 3

P =

12.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €3이 듭니다. 확률 0.15로 €15을, 확률 0.02로 €30을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €3€15: p = 0.15€30: p = 0.02

E(G) = €

13.정규분포보통

봉지 무게은(는) 평균 250 g, 표준편차 5 g인 정규분포를 따릅니다. 248.75에서 259.25 g 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 250σ = 5x₁ = 248.75x₂ = 259.25

P =

14.정규분포어려움

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 전체의 80%가 그 아래에 있는 값 x(80 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 100σ = 15P = 80%

x = 점

15.신뢰구간보통

항목 11개의 표본 평균은 59.5, 표준편차는 s = 13입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 11x̄ = 59.5s = 1395%t(10) = 2.228

하한 =

16.신뢰구간어려움

기계 가공한 축 10개의 지름의 표본 표준 편차는 10.3 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 상한 σ을(를) 구하시오. df = 9에서 χ² 분포의 2.5%는 2.7 아래에, 2.5%는 19.023 위에 있다.

n = 10s = 10.3 µmχ² = 2.7, 19.023

σ = µm

17.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 25명 표본의 평균 점수는 196.5, 표본 표준편차는 8입니다. H₀: μ = 200에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 200x̄ = 196.5s = 8n = 25

t =

18.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 81개의 표본 평균은 76입니다. 모표준편차는 15입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.

x̄ = 76σ = 15n = 8190%

U =

19.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5

r =

20.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (3, 3)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 5(3, 3)

e =

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: EAR = 16.18 %

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

기간당 이자율

r/m = 0.15/365 = 0.000411

1년간 복리 계산

EAR = (1 + 0.000411)³⁶⁵ − 1 = 1.162 − 1 = 16.18%

답

EAR = 16.18%

이자가 1년에 두 번 이상 복리로 붙으면 EAR은 항상 명목 이자율보다 높습니다.

2.화폐의 시간 가치

답: A = 275.3 €

월 이율과 상환 횟수

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·4 = 48

상환액

같은 금액 A를 N번 지급하는 것의 현재 가치는 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i입니다. 이를 대출금과 같게 놓고 A를 구합니다.

(1 + i)^−N = 0.8256

A = 12 000·0.004/(1 − 0.8256) = €275.27

답

A = €275.27

3.NPV와 IRR

답: NPV = −100000 €

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

현금흐름의 가치

PV = 28 000/(0.08 − 0.01) = 400 000.00

NPV

NPV = 400 000.00 − 500 000 = −€100 000.00

답

NPV = −€100 000.00

NPV가 음수이므로 이 프로젝트는 요구 수익률보다 적게 법니다.

4.NPV와 IRR

답: IRR = 31.77 %

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(30%) = 600.82

NPV(35%) = −1 030.58

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 30 + 5·600.82/(600.82 − (−1 030.58)) = 31.84%

정확한 값: NPV(31.77%) = 0 → IRR = 31.77%

답

IRR = 31.77%

5.채권 가격과 수익률

답: c = 8.008 %

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

액면가의 현재 가치

1000·(1 + 0.03)⁻⁷ = €813.09

이표

C = (1312 − 813.09)/6.23 = €80.08

표면 이자율

c = 80.08/1000 = 8.008%

답

c = 8.008%

6.채권 가격과 수익률

답: YTM = 10.01 %

수익률 방정식

€950 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

수치적으로 풀기

P(10%) = €950.26, P(11%) = €926.69

YTM = 10.01%

답

YTM = 10.01%

7.CAPM과 WACC

답: WACC = 7.275 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

가중치

V = €8 000 000, E/V = 0.375, D/V = 0.625

WACC

WACC = 0.375·11% + 0.625·7%·(1 − 0.28) = 7.275%

답

WACC = 7.275%

8.CAPM과 WACC

답: WACC = 5.951 %

시장가치

E = 1 000 000·€33.50 = €33 500 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

자기자본 비용 (CAPM)

r_e = 1% + 1.2·7% = 9.4%

가중치

V = €75 500 000, E/V = 0.4437, D/V = 0.5563

WACC

WACC = 0.4437·9.4% + 0.5563·4%·(1 − 0.2) = 5.951%

답

WACC = 5.951%

9.기술통계

답: s = 13.9

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 201/6 = 33.5

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−4.5)² + 11.5² + 4.5² + 18.5² + (−15.5)² + (−14.5)² = 965.5

표준편차

s = √(965.5/5) = 13.9

답

s = 13.9

10.기술통계

답: z = 2

표준화하기

z = (110 − 70)/20 = 2

답

z = 2

11.확률

답: P = 0.4213

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

여사건

P(6이 안 나옴) = (5/6)³ = 0.5787

P = 1 − 0.5787 = 0.4213

답

P = 0.4213

12.확률

답: E(G) = −0.15 €

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

순 결과

G: 12 (p = 0.15), 27 (p = 0.02), −3 (p = 0.83)

기댓값

E(G) = 12·0.15 + 27·0.02 − 3·0.83 = −0.15 €

답

E(G) = −0.15 €

음수는 평균적으로 돈을 잃는다는 뜻입니다.

13.정규분포

답: P = 0.5665

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (248.75 − 250)/5 = −0.25

z₂ = (259.25 − 250)/5 = 1.85

사이의 넓이

P = Φ(1.85) − Φ(−0.25) = 0.9678 − 0.4013 = 0.5665

답

P = 0.5665

14.정규분포

답: x = 112.6 점

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

다시 x로

x = 100 + 0.8416·15 = 112.62 점

답

x = 112.62 점

15.신뢰구간

답: 하한 = 50.77

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 10, t = 2.228

오차 한계

E = 2.228·13/√11 = 8.733

구간

59.5 ± 8.733 → [50.77, 68.23]

답

하한 = 50.77

16.신뢰구간

답: σ = 18.81 µm

분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.

제곱합

(n − 1)s² = 9·10.3² = 954.8

σ²의 한계

954.8/19.023 = 50.19

954.8/2.7 = 353.6

σ의 한계

σ = √353.6 = 18.81 µm

답

σ = 18.81 µm

σ의 95% 구간: [7.085, 18.81] µm.

17.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −2.188

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 8/√25 = 8/5 = 1.6

검정통계량

t = (196.5 − 200)/1.6 = −2.188

답

t = −2.188

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| > 2.064이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

18.가설 검정과 신뢰구간

답: U = 78.74

오차 한계

E = 1.645·15/√81 = 2.742

구간 끝값

U = 76 + 2.742 = 78.74

답

U = 78.74

19.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9943

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 575/5 = 115

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 513

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2958

상관계수

r = 513/√(90·2958) = 0.9943

답

r = 0.9943

20.선형 회귀와 상관

답: e = −4.35

평균

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 66/5 = 13.2

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 78

회귀직선

b = 78/40 = 1.95

a = 13.2 − 1.95·6 = 1.5

ŷ = 1.5 + 1.95·x

예측값

ŷ = 1.5 + 1.95·3 = 7.35

잔차

e = 3 − 7.35 = −4.35

답

e = −4.35

점이 직선 아래쪽에 있습니다.

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