CFA Level I 계량 분석 및 채권 연습: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
반기 지급: C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률: C/P
가격과 수익률: 수익률 상승 → 가격 하락

방법

기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
기업 가치: V = E + D

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통

연금이 16년 동안 매년 말 €2 000을(를) 지급한다. 이자율은 연 4%이다. 연금의 현재 가치 PV을(를) 구하시오.

A = €2 000i = 4%n = 16

PV = €

2.화폐의 시간 가치어려움

23년 동안 매달 말에 €100을 저축합니다. 계좌 이율은 연 3%, 월 복리입니다. 마지막에 얼마가 모일까요? FV를 구하세요.

A = €1003% / 12N = 276

FV = €

3.NPV와 IRR보통

한 프로젝트는 오늘 €100 000이(가) 든다. 첫해 말 €10 000을(를) 창출하고, 이후 현금흐름은 매년 1%씩 영구히 증가한다. 자본 비용은 12%이다. 순현재가치 NPV을(를) 구하시오.

C₀ = €100 000CF₁ = €10 000g = 1%r = 12%

NPV = €

4.NPV와 IRR어려움

어떤 프로젝트는 €10 000이 들고 1년 차부터 3년 차 말까지 €7 000, €6 500, €7 500을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 000CF₂ = 6 500CF₃ = 7 500

IRR = %

5.채권 가격과 수익률보통

액면가 €1 000인 채권이 연 3%의 이자를 반년마다 두 번에 나누어 지급하며 4년 후 만기입니다. 만기 수익률은 연 3.5%입니다. 채권 가격 P을(를) 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 3%YTM = 3.5%n = 4

P = €

6.채권 가격과 수익률어려움

만기까지 19년 남은 채권(액면가 €1 000, 연 이표 8%)이 €1 161에 팔린다. 발행자는 5년 후 수의 상환 가격 €1 080에 이 채권을 상환할 수 있다. 수의 상환 수익률 YTC을(를) 퍼센트로 구하시오.

F = €1 000표면이자율 = 8%P = €1 161수의 상환 가격 = €1 080수의 상환까지 5 년

YTC = %

7.CAPM과 WACC보통

한 회사의 부채비율(시장가치 기준 D/E)은 0.75이다. 자기자본 비용은 9%, 세전 부채 비용은 4%, 세율은 20%이다. WACC를 구하시오.

D/E = 0.75r_e = 9%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

8.CAPM과 WACC어려움

한 회사의 자기자본 시장가치는 €5 000 000, 자기자본 비용은 13%이다. 부채는 채권 5 000개(액면가 €1 000, 연 이표 6%, 만기까지 7년)로 이루어지며 각각 €946에 거래된다. 세율은 30%이다. 채권의 만기 수익률을 세전 부채 비용으로 하여 WACC를 구하시오.

E = €5 000 000r_e = 13%채권: 5 000 × €946표면이자율 = 6%n = 7T = 30%

WACC = %

9.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 58, 44, 46, 41, 16.

n = 5

s =

10.기술통계어려움

어떤 양은 평균 60, 표준편차 8인 정규분포를 따릅니다. 70보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 60σ = 8x = 70

P =

11.확률보통

표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.05, 0.35, 0.3, 0.3

Var(X) =

12.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €2이 듭니다. 확률 0.25로 €10을, 확률 0.02로 €20을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €2€10: p = 0.25€20: p = 0.02

E(G) = €

13.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 −z와 z 사이의 색칠한 넓이가 0.8132이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.8132

z =

14.정규분포어려움

시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 하위 90%가 왼쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 65 점σ = 10 점90%

x = 점

15.신뢰구간보통

항목 21개의 표본 평균은 61.5, 표준편차는 s = 3.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 21x̄ = 61.5s = 3.590%t(20) = 1.725

상한 =

16.신뢰구간어려움

예비 연구에 따르면 제품의 약 0.3이(가) 불량이다. 비율에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 최대 0.02이(가) 되려면 제품을 몇 개 n 검사해야 하는가?

p ≈ 0.3E = 0.0295%

n =

17.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 36명 표본의 평균 점수는 200.6, 표본 표준편차는 5입니다. H₀: μ = 200에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 200x̄ = 200.6s = 5n = 36

t =

18.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 49개의 표본 평균은 96.6입니다. 모표준편차는 12입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.

x̄ = 96.6σ = 12n = 4990%

U =

19.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 6

r² =

20.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (5, 15)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 6(5, 15)

e =

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: PV = 23305 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

연금 현가 계수

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.5339)/0.04 = 11.65

현재 가치

PV = 2 000·11.65 = €23 304.59

답

PV = €23 304.59

2.화폐의 시간 가치

답: FV = 39680 €

월 이율과 적립 횟수

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·23 = 276

적립금의 미래 가치

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(1.992 − 1)/0.0025 = €39 679.98

답

FV = €39 679.98

직접 넣은 돈은 €27 600이고 나머지는 이자입니다.

3.NPV와 IRR

답: NPV = −9091 €

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

현금흐름의 가치

PV = 10 000/(0.12 − 0.01) = 90 909.09

NPV

NPV = 90 909.09 − 100 000 = −€9 090.91

답

NPV = −€9 090.91

NPV가 음수이므로 이 프로젝트는 요구 수익률보다 적게 법니다.

4.NPV와 IRR

답: IRR = 48.09 %

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(45%) = 379.27

NPV(50%) = −222.22

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 45 + 5·379.27/(379.27 − (−222.22)) = 48.15%

정확한 값: NPV(48.09%) = 0 → IRR = 48.09%

답

IRR = 48.09%

5.채권 가격과 수익률

답: P = 981.5 €

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

기간당

C = €15.00, i = 0.0175, N = 8

이자의 현재 가치

€15.00·(1 − 0.8704)/0.0175 = €111.08

액면가의 현재 가치

€1 000·0.8704 = €870.41

가격

P = €981.49

답

P = €981.49

수익률이 표면이자율보다 높으므로 채권은 할인 발행(액면가 미만)됩니다.

6.채권 가격과 수익률

답: YTC = 5.644 %

수익률 방정식

1161 = 80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1080/(1 + y)⁵

수치적으로 풀기

y = 5%: €1 192.57

y = 6%: €1 144.03

YTC = 5.644%

답

YTC = 5.644%

만기 수익률은 6.5%입니다. 할증 채권의 투자자는 상환될 것으로 예상하므로, 더 낮은 수의 상환 수익률이 더 현실적입니다.

7.CAPM과 WACC

답: WACC = 6.514 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

D/E에서 구한 가중치

E/V = 1/(1 + 0.75) = 0.5714

D/V = 0.75/(1 + 0.75) = 0.4286

WACC

WACC = 0.5714·9% + 0.4286·4%·(1 − 0.2) = 6.514%

답

WACC = 6.514%

8.CAPM과 WACC

답: WACC = 9.063 %

부채 비용(YTM)

946 = 60·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + 1000/(1 + y)⁷

y = 7.002%

시장가치

D = 5 000·€946 = €4 730 000

V = €9 730 000, E/V = 0.5139, D/V = 0.4861

WACC

WACC = 0.5139·13% + 0.4861·7.002%·(1 − 0.3) = 9.063%

답

WACC = 9.063%

9.기술통계

답: s = 15.39

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 205/5 = 41

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 17² + 3² + 5² + 0² + (−25)² = 948

표준편차

s = √(948/4) = 15.39

답

s = 15.39

10.기술통계

답: P = 0.8944

표준화하기

z = 1.25

표준정규분포표

Φ(1.25) = 0.8944

P = 0.8944

답

P = 0.8944

11.확률

답: Var(X) = 3.31

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.05 + 2·0.35 + 4·0.3 + 6·0.3 = 3.7

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.05 + 4·0.35 + 16·0.3 + 36·0.3 = 17

분산

Var(X) = 17 − 3.7² = 3.31

답

Var(X) = 3.31

12.확률

답: E(G) = 0.9 €

순 결과

G: 8 (p = 0.25), 18 (p = 0.02), −2 (p = 0.73)

기댓값

E(G) = 8·0.25 + 18·0.02 − 2·0.73 = 0.9 €

답

E(G) = 0.9 €

양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.

13.정규분포

답: z = 1.32

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = (1 + 0.8132)/2 = 0.9066

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.9066을 찾아 z를 읽으세요.

z = 1.32

답

z = 1.32

14.정규분포

답: x = 77.8 점

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.9

표에서 구한 z

z ≈ 1.28

원래 단위로 되돌리기

x = 65 + 1.28·10 = 77.8 점

답

x = 77.8 점

15.신뢰구간

답: 상한 = 62.82

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 20, t = 1.725

오차 한계

E = 1.725·3.5/√21 = 1.317

구간

61.5 ± 1.317 → [60.18, 62.82]

답

상한 = 62.82

16.신뢰구간

답: n = 2017

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n에 대해 풀기

n = 1.96²·0.3·0.7/0.02² = 2017

올림하기

n = 2017

답

n = 2017

17.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 0.72

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 5/√36 = 5/6 = 0.8333

검정통계량

t = (200.6 − 200)/0.8333 = 0.72

답

t = 0.72

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| < 2.03이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

18.가설 검정과 신뢰구간

답: U = 99.42

오차 한계

E = 1.645·12/√49 = 2.82

구간 끝값

U = 96.6 + 2.82 = 99.42

답

U = 99.42

19.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9804

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 281/6 = 46.83

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 109.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 698.8

결정계수

r² = 109.5²/(17.5·698.8) = 0.9804

답

r² = 0.9804

y의 변동 중 약 98.04%가 직선으로 설명됩니다.

20.선형 회귀와 상관

답: e = 2.305

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 106/6 = 17.67

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 174

회귀직선

b = 174/70 = 2.486

a = 17.67 − 2.486·7 = 0.2667

ŷ = 0.2667 + 2.486·x

예측값

ŷ = 0.2667 + 2.486·5 = 12.7

잔차

e = 15 − 12.7 = 2.305

답

e = 2.305

점이 직선 위쪽에 있습니다.

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