컴퓨터과학 기초: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

진법

자릿값: 2진수 2^k, 8진수 8^k, 16진수 16^k
10진수로: Σ d_k·b^k
10진수에서: 기수로 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽음
16진수 ↔ 2진수: 16진수 한 자리 = 4비트
2의 보수: 비트를 반전하고 1을 더함

명제논리와 증명

진리표의 행 수: 2ⁿ
함의: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
함의의 부정: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
쌍조건: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
드모르간 법칙: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
분배법칙: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
한정자의 부정: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
전건 긍정법, 후건 부정법: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

방법

서로 다른 변수의 개수를 세세요. 진리표는 2ⁿ개의 행을 가지며, 첫 행은 모두 1입니다.
모든 부분식에 각각 열을 하나씩 주고, 안쪽부터 바깥쪽으로 열을 채우세요.
각 연결자의 규칙을 적용하세요. →는 1 → 0일 때만 0이고, ↔는 양쪽이 같을 때 1입니다.
동치는 마지막 열을 행마다 비교하고, 논증은 모든 전제가 1인 행만 살펴보세요.
한정된 문장을 부정하려면 ¬를 안쪽으로 옮기고, ∀와 ∃를 서로 바꾸고, 안쪽 식을 부정하세요.

디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

기본 게이트: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
불 규칙: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
드모르간 법칙: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
카르노 맵의 순서: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ칸의 그룹: 변수 k개를 잃음
4-대-1 멀티플렉서: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
플립플롭: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
카운터: n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; f_out = f_clk/N
리플 카운터: f_max = 1/(n·t_pd)
링 카운터와 존슨 카운터: 상태 n개와 2n개

방법

회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.

정수론과 모듈러 연산

나머지가 있는 나눗셈: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
유클리드: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
최소공배수: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
역행렬: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
일차 합동식: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
오일러 피 함수: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
페르마: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

방법

먼저 모든 수를 n으로 나눈 나머지로 줄이세요. 나머지는 0부터 n − 1 사이에 있습니다.
최대공약수는 유클리드 호제법으로 계속 나누세요. 0이 아닌 마지막 나머지가 최대공약수입니다.
역원은 확장 알고리즘을 실행해 a의 계수를 취하고, 음수이면 n을 더하세요.
a·x ≡ b는 a⁻¹을 곱해서 풀고, 두 합동식은 x = r₁ + m₁k로 써서 합치세요.
거듭제곱은 지수를 이진수로 쓰고 거듭 제곱하세요. RSA에서는 d = e⁻¹ mod φ(n)이고 φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다.

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

IPv4 서브네팅

서브넷당 호스트 수: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
블록 크기: 256 − (mask octet)
네트워크 주소: IP AND 마스크
브로드캐스트 주소: IP OR (NOT 마스크): 호스트 비트를 모두 1로
n비트를 빌렸을 때의 서브넷 수: 2ⁿ

2연습 문제

1.진법보통

8비트 2의 보수로 −41을 저장하도록 비트를 설정하세요. 부호 없는 수로 읽으면 패턴의 값 U은 얼마입니까?

N = −418 bit

U =

2.진법어려움

어떤 시스템이 3002개 항목 각각에 같은 길이의 고유한 2진 코드를 주어야 합니다. 필요한 최소 비트 수 b는 얼마일까요?

3002

b = bit

3.명제논리와 증명보통

(r ∧ q) ∨ (q → (p → r))의 진리표 8개 행 중 몇 개에서 참인가? 이 수를 N(이)라 하자.

(r ∧ q) ∨ (q → (p → r))

N =

4.명제논리와 증명어려움

진리표의 16개 행 중 몇 개에서 (s ↔ (q ∨ s)) ∨ (r ∧ ¬p)이(가) 참인가? 이 수를 N(이)라 하자.

(s ↔ (q ∨ s)) ∨ (r ∧ ¬p)

N =

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통

카르노 맵으로 F(A, B, C) = Σm(0, 2, 3, 4, 6)의 최소 곱의 합(SOP) 형태를 구하시오. 곱항은 몇 개(N)인가?

F(A, B, C) = Σm(0, 2, 3, 4, 6)

N =

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움

d가 무정의항을 나타낼 때 F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 5, 12, 14) + d(0, 7, 15)의 최소 SOP 형태를 구하시오. 곱항은 몇 개(N)인가?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 5, 12, 14) + d(0, 7, 15)

N =

7.정수론과 모듈러 연산보통

83을(를) 법으로 하는 49의 역원, 곧 0 < x < 83이고 49·x ≡ 1 (mod 83)인 수 x을(를) 구하시오.

a = 49n = 83

49⁻¹ mod 83 =

8.정수론과 모듈러 연산어려움

RSA 키가 소수 p = 5, q = 37과 공개 지수 e = 7를 쓴다. 개인 지수 d(0 < d < φ(n))을(를) 구하시오.

p = 5q = 37e = 7

d =

9.알고리즘과 복잡도보통

O(log n)처럼 Big O에서 로그의 밑을 보통 생략하는 이유는 무엇입니까?

A밑은 n이 작을 때만 중요하기 때문에
B로그는 항상 정수로 반올림되기 때문에
C밑이 다른 로그는 상수배만큼만 다르기 때문에
D컴퓨터 과학의 모든 로그는 밑이 10이므로 생략해도 알 수 있기 때문에

10.알고리즘과 복잡도어려움

어떤 입력에 대해서도 퀵 정렬의 기대(expected) 실행 시간을 O(n log n)으로 만드는 기법은 무엇입니까?

A왼쪽에만 재귀를 사용하기
B피벗을 균등하게 무작위로 선택하기
C퀵 정렬을 실행하기 전에 입력을 정렬하기
D항상 첫 번째 원소를 선택하기

11.자료구조보통

충돌한 키들을 같은 버킷의 리스트에 저장하는 충돌 해결 방법은 무엇입니까?

A이차 탐사(Quadratic probing)
B선형 탐사(Linear probing)
C분리 체이닝(Separate chaining)
D이중 해싱(Double hashing)

12.자료구조어려움

데이터베이스가 인덱스에 일반 B-트리보다 B+ 트리를 자주 사용하는 이유는 무엇입니까?

AB+ 트리는 이진 내부 노드를 사용하여 디스크 읽기 횟수를 줄이기 때문에
B모든 레코드가 연결된 리프에 있어 범위 스캔이 효율적이기 때문에
CB+ 트리는 균형을 유지할 필요가 없기 때문에
DB+ 트리는 데이터를 루트에만 저장하기 때문에

13.그래프 이론보통

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 5|E| = 6

1오일러 회로
2오일러 경로, 회로 없음
3둘 다 아님

14.그래프 이론어려움

E에서 A까지 가는 길이 3의 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 3

N =

15.데이터베이스와 SQL보통

함수 종속성 A → B는 무엇을 의미합니까?

AB의 각 값은 정확히 하나의 A 값과 연결된다
BA와 B는 모두 기본 키이다
CA는 B를 참조하는 외래 키이다
DA의 각 값은 정확히 하나의 B 값과 연결된다

16.데이터베이스와 SQL어려움

FULL OUTER JOIN은 무엇을 반환합니까?

A카티션 곱으로, 한 테이블의 각 행을 다른 테이블의 모든 행과 짝짓는다
B일치하지 않는 행만
C일치하는 행만
D두 테이블의 모든 행, 가능한 경우 짝을 짓고 그렇지 않으면 NULL로 채움

17.컴퓨터 네트워크보통

호스트에서 기본 게이트웨이의 역할은 무엇입니까?

AMAC 주소를 할당한다
BDNS 서버이다
C호스트가 연결된 스위치 포트이다
D다른 네트워크로 가는 트래픽에 사용되는 라우터이다

18.컴퓨터 네트워크어려움

TCP 빠른 재전송(fast retransmit)은 무엇을 합니까?

A타임아웃을 기다리지 않고 중복 ACK 세 개를 받으면 세그먼트를 재전송한다
B안전을 위해 모든 세그먼트를 두 번씩 재전송한다
C손실이 생길 때마다 윈도를 두 배로 늘린다
D알려진 호스트에 다시 연결할 때 3방향 핸드셰이크를 건너뛰어 데이터가 더 빨리 재전송된다

19.IPv4 서브네팅보통

어느 부서가 한 서브넷에 호스트 주소 681개가 필요합니다. 충분한 가장 긴 접두사 길이 p(가장 작은 서브넷)는 얼마일까요?

681 hosts

p =

20.IPv4 서브네팅어려움

라우터에 다음 네트워크로의 경로가 있습니다: 10.10.84.0/24, 10.10.85.0/24, 10.10.86.0/24, 10.10.87.0/24. 이들을 모두 포함하는 단일 요약 경로의 가장 긴 접두사 길이 p는 얼마일까요?

10.10.84.0/24 … 10.10.87.0/24

p =

3용액

1.진법

답: U = 215

비트 설정: 각 비트는 2의 거듭제곱(128, 64, …, 1)의 값을 가집니다. 16진수 한 자리는 정확히 네 비트이고, 8비트 2의 보수에서 맨 왼쪽 비트의 값은 −128입니다. 비트 연산은 각 비트 자리를 따로 처리합니다.

반전하고 1 더하기

41 = 0010 1001

반전 후: 1101 0110

+1 → 1101 0111

부호 없는 수로 읽기

1101 0111₂ = 256 − 41 = 215

답

U = 215

2.진법

답: b = 12 bit

위치 기수법: 각 자리의 값은 그 숫자에 밑의 거듭제곱을 곱한 것입니다. 2진수의 자리값은 1, 2, 4, 8, 16, …, 16진수는 1, 16, 256, …이며 A–F는 10–15를 뜻합니다. 8비트 2의 보수에서 가장 왼쪽 비트는 +128이 아니라 −128의 값을 가지며, 이렇게 음수를 저장합니다.

2의 거듭제곱

2¹¹ = 2048 < 3002

2¹² = 4096 ≥ 3002

답

b = 12

3.명제논리와 증명

답: N = 7

진리표: 서로 다른 변수가 n개인 식은 참값(1 = 참, 0 = 거짓)의 모든 조합마다 하나씩 2ⁿ개의 행을 가집니다. 안쪽부터 바깥쪽으로 작업하고 모든 부분식에 각각 열을 주세요. ¬a는 값을 뒤집습니다. a ∧ b는 둘 다 1일 때만 1입니다. a ∨ b는 둘 다 0일 때만 0입니다. a → b는 a = 1이고 b = 0일 때만 0입니다. a ↔ b는 양쪽이 같을 때 1입니다.

행별 진리표

p = 1, q = 1, r = 1: r ∧ q = 1, p → r = 1, q → (p → r) = 1, (r ∧ q) ∨ (q → (p → r)) = 1

p = 1, q = 1, r = 0: r ∧ q = 0, p → r = 0, q → (p → r) = 0, (r ∧ q) ∨ (q → (p → r)) = 0

p = 1, q = 0, r = 1: r ∧ q = 0, p → r = 1, q → (p → r) = 1, (r ∧ q) ∨ (q → (p → r)) = 1

p = 1, q = 0, r = 0: r ∧ q = 0, p → r = 0, q → (p → r) = 1, (r ∧ q) ∨ (q → (p → r)) = 1

p = 0, q = 1, r = 1: r ∧ q = 1, p → r = 1, q → (p → r) = 1, (r ∧ q) ∨ (q → (p → r)) = 1

p = 0, q = 1, r = 0: r ∧ q = 0, p → r = 1, q → (p → r) = 1, (r ∧ q) ∨ (q → (p → r)) = 1

p = 0, q = 0, r = 1: r ∧ q = 0, p → r = 1, q → (p → r) = 1, (r ∧ q) ∨ (q → (p → r)) = 1

p = 0, q = 0, r = 0: r ∧ q = 0, p → r = 1, q → (p → r) = 1, (r ∧ q) ∨ (q → (p → r)) = 1

값이 1인 행의 수 세기

(r ∧ q) ∨ (q → (p → r)): 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1

N = 7

답

N = 7

4.명제논리와 증명

답: N = 13

열

q ∨ s; s ↔ (q ∨ s); ¬p; r ∧ ¬p; (s ↔ (q ∨ s)) ∨ (r ∧ ¬p)

p을(를) 기준으로 나누기

p = 1: 6

p = 0: 7

N = 6 + 7 = 13

답

N = 13

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 2

카르노 맵: 칸은 그레이 코드(00, 01, 11, 10) 순서로 배열되므로, 가장자리를 넘어 이웃한 칸을 포함해 이웃한 칸은 정확히 한 변수만 다릅니다. 모든 1이 덮일 때까지 1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 직사각형으로, 가능한 한 크고 가능한 한 적게 묶으세요. 각 그룹은 그 안에서 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. 2ᵏ칸의 그룹은 변수 k개를 잃습니다. 무정의항(X)은 그룹을 키우는 데 쓸 수 있지만 반드시 덮을 필요는 없습니다. 0들을 묶으면 최소 POS 형태가 나옵니다.

1 묶기

모든 그룹은 2ᵏ칸의 직사각형입니다. 가장자리 칸은 반대쪽 가장자리의 칸과 이웃합니다.

C′

A′B

최소 SOP 형태

F = C′ + A′B

N = 2

답

N = 2

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 3

소 임플리컨트

1과 X로 만들 수 있는 가장 큰 그룹들.

BC′D′, A′C′, A′B′D′, A′BD, ABD′, ABC

최소 덮개

F = A′C′ + A′B′D′ + ABD′

N = 3

답

N = 3

7.정수론과 모듈러 연산

답: 49⁻¹ mod 83 = 61

역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

확장 유클리드 알고리즘

각 나머지 r은 r ≡ t·49 (mod 83)로 쓸 수 있습니다.

r = 83, t = 0

r = 49, q = 1, t = 1

r = 34, q = 1, t = −1

r = 15, q = 2, t = 2

r = 4, q = 3, t = −5

r = 3, q = 1, t = 17

r = 1, q = 3, t = −22

역행렬

1 ≡ −22·49 (mod 83)

x = 61

검산: 49·61 = 2989 = 36·83 + 1

답

49⁻¹ mod 83 = 61

8.정수론과 모듈러 연산

답: d = 103

모듈러 거듭제곱과 RSA: aᵏ mod n은 반복 제곱법으로 계산합니다. k를 이진수로 쓰고, 제곱하고, 단계마다 나머지를 취하고, 비트가 1인 거듭제곱들을 곱하세요. 페르마: a를 나누지 않는 소수 p에 대해 aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)이므로 지수를 p − 1을 법으로 줄일 수 있습니다. RSA: 소수 p와 q를 고르고, n = p·q, φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다. 공개 지수 e는 φ(n)과 서로소이고 개인 지수는 d = e⁻¹ mod φ(n)입니다. c = mᵉ mod n으로 암호화하고 m = cᵈ mod n으로 복호화합니다.

법과 오일러 피 함수 값

n = 5·37 = 185

φ(n) = 4·36 = 144

확장 유클리드 알고리즘

r = 144, t = 0

r = 7, q = 20, t = 1

r = 4, q = 1, t = −20

r = 3, q = 1, t = 21

r = 1, q = 3, t = −41

개인 지수

d = 103

차수

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

홀수 정점

오일러 회로

답

오일러 회로

14.그래프 이론

답: N = 3

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. K_n은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 1

A · 타임아웃을 기다리지 않고 중복 ACK 세 개를 받으면 세그먼트를 재전송한다

19.IPv4 서브네팅

답: p = 22

IPv4 서브네팅: 주소는 32비트입니다. 접두사 /p는 앞의 몇 비트가 네트워크를 나타내는지를 말하고, 나머지 32 − p비트로 호스트 번호를 매깁니다. 서브넷에는 주소가 2³²⁻ᵖ개 있지만 첫 주소(네트워크 주소)와 마지막 주소(브로드캐스트 주소)는 호스트에 줄 수 없어 호스트 2³²⁻ᵖ − 2개가 들어갑니다. 예외: /31(점대점 링크, RFC 3021)은 주소 2개를 모두 호스트에 쓰고, /32는 단일 주소(단일 호스트 또는 루프백)입니다.

필요한 호스트 비트

2⁹ − 2 = 510 < 681

2¹⁰ − 2 = 1022 ≥ 681 → h = 10

접두사 길이

p = 32 − 10 = 22

답

p = /22

20.IPv4 서브네팅

답: p = 22

경로 요약: 요약 경로 a.b.c.0/p는 처음 p비트가 일치하는 모든 네트워크를 포함합니다. 첫 번째와 마지막 네트워크에서 다른 옥텟을 2진수로 쓰고, 공통 앞쪽 비트 수에 그 앞 옥텟들의 비트를 더하면 가장 긴 요약 접두사가 됩니다.

비트 비교

84 = 01010100

87 = 01010111

공통 앞쪽 비트: 6

접두사 길이

p = 16 + 6 = 22

답

p = /22

요약 경로: 10.10.84.0/22

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