컴퓨터과학 기초: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

진법

자릿값: 2진수 2^k, 8진수 8^k, 16진수 16^k
10진수로: Σ d_k·b^k
10진수에서: 기수로 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽음
16진수 ↔ 2진수: 16진수 한 자리 = 4비트
2의 보수: 비트를 반전하고 1을 더함

명제논리와 증명

진리표의 행 수: 2ⁿ
함의: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
함의의 부정: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
쌍조건: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
드모르간 법칙: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
분배법칙: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
한정자의 부정: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
전건 긍정법, 후건 부정법: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

방법

서로 다른 변수의 개수를 세세요. 진리표는 2ⁿ개의 행을 가지며, 첫 행은 모두 1입니다.
모든 부분식에 각각 열을 하나씩 주고, 안쪽부터 바깥쪽으로 열을 채우세요.
각 연결자의 규칙을 적용하세요. →는 1 → 0일 때만 0이고, ↔는 양쪽이 같을 때 1입니다.
동치는 마지막 열을 행마다 비교하고, 논증은 모든 전제가 1인 행만 살펴보세요.
한정된 문장을 부정하려면 ¬를 안쪽으로 옮기고, ∀와 ∃를 서로 바꾸고, 안쪽 식을 부정하세요.

디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

기본 게이트: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
불 규칙: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
드모르간 법칙: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
카르노 맵의 순서: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ칸의 그룹: 변수 k개를 잃음
4-대-1 멀티플렉서: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
플립플롭: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
카운터: n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; f_out = f_clk/N
리플 카운터: f_max = 1/(n·t_pd)
링 카운터와 존슨 카운터: 상태 n개와 2n개

방법

회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.

정수론과 모듈러 연산

나머지가 있는 나눗셈: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
유클리드: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
최소공배수: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
역행렬: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
일차 합동식: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
오일러 피 함수: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
페르마: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

방법

먼저 모든 수를 n으로 나눈 나머지로 줄이세요. 나머지는 0부터 n − 1 사이에 있습니다.
최대공약수는 유클리드 호제법으로 계속 나누세요. 0이 아닌 마지막 나머지가 최대공약수입니다.
역원은 확장 알고리즘을 실행해 a의 계수를 취하고, 음수이면 n을 더하세요.
a·x ≡ b는 a⁻¹을 곱해서 풀고, 두 합동식은 x = r₁ + m₁k로 써서 합치세요.
거듭제곱은 지수를 이진수로 쓰고 거듭 제곱하세요. RSA에서는 d = e⁻¹ mod φ(n)이고 φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다.

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

IPv4 서브네팅

서브넷당 호스트 수: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
블록 크기: 256 − (mask octet)
네트워크 주소: IP AND 마스크
브로드캐스트 주소: IP OR (NOT 마스크): 호스트 비트를 모두 1로
n비트를 빌렸을 때의 서브넷 수: 2ⁿ

2연습 문제

1.진법보통

8비트 2의 보수로 −74을 저장하도록 비트를 설정하세요. 부호 없는 수로 읽으면 패턴의 값 U은 얼마입니까?

N = −748 bit

U =

2.진법어려움

0110 0001 << 3의 8비트 결과가 되도록 비트를 설정하세요. 결과의 값 R은 십진수로 얼마입니까?

0110 0001<< 3

R =

3.명제논리와 증명보통

q ∨ ¬q은(는) 항진명제, 모순, 우연명제 중 무엇인가? 답을 클릭하세요.

q ∨ ¬q

1항진명제
2모순
3우연명제

4.명제논리와 증명어려움

부정을 가장 안쪽까지 옮긴 ¬∃x (P(x) → Q(x))와(과) 동치인 문장은 어느 것인가? 클릭하세요.

¬∃x (P(x) → Q(x))

1∀x (P(x) → ¬Q(x))
2∀x (¬P(x) → ¬Q(x))
3∃x (P(x) ∧ ¬Q(x))
4∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통

4-대-1 멀티플렉서의 선택 입력은 S₁ = A, S₀ = B이고 데이터 입력은 I₀ = C′, I₁ = 1, I₂ = 1, I₃ = C′에 연결되어 있다. A, B, C의 8가지 조합 중 몇 개에서 출력 F = 1인가? N을(를) 구하시오.

I₀ = C′I₁ = 1I₂ = 1I₃ = C′

N =

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움

상승 에지 트리거 JK 플립플롭이 Q = 0에서 시작하여 그림의 입력을 상승 클록 에지 8번에 걸쳐 받는다. Q의 상태는 몇 번(N) 바뀌는가?

Q₀ = 0JK

N =

7.정수론과 모듈러 연산보통

65x ≡ 14 (mod 97)을(를) 푸시오. 0 < x < 97인 해 x을(를) 구하시오.

65x ≡ 14 (mod 97)

x =

8.정수론과 모듈러 연산어려움

RSA 키가 p = 17, q = 47, e = 7를 쓴다. 암호문 c = 455을(를) 복호화하시오. 메시지 m을(를) 구하시오.

p = 17q = 47e = 7c = 455

m =

9.알고리즘과 복잡도보통

점화식 T(n) = T(n − 1) + O(n)의 해는 무엇입니까?

AO(2ⁿ)
BO(n log n)
CO(n²)
DO(n)

10.알고리즘과 복잡도어려움

정지 문제(halting problem)가 보여 주는 것은 무엇입니까?

A모든 프로그램은 결국 정지한다
B일부 프로그램은 더 빠른 컴퓨터에서 더 빨리 실행되므로 정지 여부는 하드웨어에 달려 있다
C모든 프로그램과 입력에 대해 그것이 정지하는지를 판정할 수 있는 알고리즘은 없다
D루프는 피해야 한다

11.자료구조보통

리스트 중간에 있는 노드에 대한 참조가 있습니다. 어떤 리스트에서 그 노드를 O(1)에 제거할 수 있습니까?

A단일 연결 리스트
B이중 연결 리스트
C동적 배열
D정렬된 배열

12.자료구조어려움

단순 균등 해싱 가정에서, 키가 n개이고 버킷이 m개인 체이닝 해시 테이블의 탐색 기대 시간은 얼마입니까?

AO(m)
Bα = n / m일 때 O(1 + α)
CO(n)
DO(log n)

13.그래프 이론보통

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 5|E| = 6

1오일러 회로
2오일러 경로, 회로 없음
3둘 다 아님

14.그래프 이론어려움

D에서 출발해 같은 정점으로 돌아오는 길이 2의 닫힌 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 2

N =

15.데이터베이스와 SQL보통

orders 테이블에는 각각 기존 고객을 참조하는 5개의 행이 있습니다. customers 테이블에는 3개의 행이 있습니다. customer_id로 INNER JOIN하면 몇 개의 행이 반환됩니까?

16.데이터베이스와 SQL어려움

(last_name, first_name)에 복합 인덱스가 있습니다. 어떤 조건이 이를 가장 효과적으로 사용할 수 있습니까?

AWHERE last_name = 'Jansen'
BWHERE first_name = 'Eva'
CWHERE first_name LIKE '%a'
DWHERE UPPER(first_name) = 'EVA'

17.컴퓨터 네트워크보통

Wi-Fi가 충돌 감지 대신 충돌 회피(CSMA/CA)를 사용하는 이유는 무엇입니까?

A무선 신호는 결코 충돌하지 않기 때문이다
BWi-Fi는 네트워크당 하나의 장치만 허용하기 때문이다
C무선 스테이션은 전송하는 동안 충돌을 확실하게 감지할 수 없기 때문이다
D충돌 감지는 광섬유 케이블에서만 동작하고 공유 무선 채널에서는 동작하지 않기 때문이다

18.컴퓨터 네트워크어려움

한 PC가 자신의 서브넷에 있는 프린터에는 접근할 수 있지만 그 너머로는 아무것에도 접근할 수 없습니다. IP 주소와 마스크는 올바릅니다. 가장 가능성 높은 결함은 무엇입니까?

A기본 게이트웨이가 없거나 잘못됨
B인터넷상의 중복 MAC 주소
CTCP 윈도가 너무 작음
DDNS 서버 설정 오류

19.IPv4 서브네팅보통

어느 부서가 한 서브넷에 호스트 주소 526개가 필요합니다. 충분한 가장 긴 접두사 길이 p(가장 작은 서브넷)는 얼마일까요?

526 hosts

p =

20.IPv4 서브네팅어려움

라우터에 다음 네트워크로의 경로가 있습니다: 10.165.45.0/24, 10.165.46.0/24, 10.165.47.0/24, 10.165.48.0/24. 이들을 모두 포함하는 단일 요약 경로의 가장 긴 접두사 길이 p는 얼마일까요?

10.165.45.0/24 … 10.165.48.0/24

p =

3용액

1.진법

답: U = 182

비트 설정: 각 비트는 2의 거듭제곱(128, 64, …, 1)의 값을 가집니다. 16진수 한 자리는 정확히 네 비트이고, 8비트 2의 보수에서 맨 왼쪽 비트의 값은 −128입니다. 비트 연산은 각 비트 자리를 따로 처리합니다.

반전하고 1 더하기

74 = 0100 1010

반전 후: 1011 0101

+1 → 1011 0110

부호 없는 수로 읽기

1011 0110₂ = 256 − 74 = 182

답

U = 182

2.진법

답: R = 8

비트별로

3만큼 왼쪽으로 시프트하면 모든 비트가 3칸 왼쪽으로 이동합니다. 왼쪽 끝에서 밀려난 비트는 사라지고 오른쪽에 0이 들어옵니다.

0110 0001 << 3

= 0000 1000

결과의 값

0000 1000₂ = 8

답

R = 8

3.명제논리와 증명

답: 항진명제

논리적 동치: 두 식은 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 동치(≡)입니다. 항진명제는 모든 행에서 1이고, 모순은 모든 행에서 0이며, 우연명제는 둘 다 아닙니다. 유용한 법칙: 드모르간 법칙 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b와 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b, a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a(대우), ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b, 그리고 분배법칙 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

행별 진리표

q = 1: ¬q = 0, q ∨ ¬q = 1

q = 0: ¬q = 1, q ∨ ¬q = 1

분류

q ∨ ¬q: 1, 1

모든 행에서 1: 항진명제.

답

항진명제

4.명제논리와 증명

답: ∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))

한정자와 논증: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). 부정을 안쪽으로 옮기고, 지나가는 모든 한정자를 바꾸고, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b 같은 명제 논리 법칙으로 안쪽 식을 부정하세요. 모든 전제가 1인 모든 행에서 결론이 1이면 논증이 타당합니다. 전제는 참인데 결론이 거짓인 행이 하나라도 있으면 그것이 반례이며 그 논증은 타당하지 않음을 보여 줍니다.

부정을 안쪽으로 옮기기

¬∃x (P(x) → Q(x)) ≡ ∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))

답

∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))

다른 보기는 한정자를 그대로 두거나, 한정자의 순서를 바꾸거나, 안쪽 식을 잘못 부정한 것입니다.

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 6

멀티플렉서: 2ⁿ-대-1 멀티플렉서는 데이터 입력 중 하나를 출력으로 보내며, 선택선을 이진수로 읽어 어느 것인지 정합니다. 선택선 S₁S₀ = AB인 4-대-1 MUX에서는 F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃입니다. 데이터 입력을 0, 1, C, C′에 연결하면 MUX가 A, B, C의 어떤 함수든 만들 수 있으며, 이는 칩 하나로 논리를 구현하는 흔한 방법입니다.

출력식

F = A′B′C′ + A′B + AB′ + ABC′

F = 1인 행

ABC = 000, 010, 011, 100, 101, 110

N = 6

답

N = 6

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 2

플립플롭과 카운터: 플립플롭은 클록의 활성 에지에서만 바뀝니다. D는 입력을 복사합니다(Q⁺ = D). T는 T = 1이면 토글합니다. JK는 00이면 유지, 01이면 리셋, 10이면 셋, 11이면 토글합니다. n비트 이진 카운터는 상태가 2ⁿ개이고 2ⁿ을 법으로 세며, mod-N 카운터는 0, 1, …, N − 1을 거쳐 다시 0으로 돌아가고 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n개의 플립플롭이 필요합니다. 리플 카운터는 단마다 주파수가 절반이 되므로 mod-N 카운터의 마지막 출력은 f_clk/N으로 동작합니다. 플립플롭 n개의 존슨 카운터는 상태가 2n개, 링 카운터는 n개입니다.

에지마다의 Q

JK 플립플롭: 00은 유지, 01은 리셋(Q = 0), 10은 셋(Q = 1), 11은 토글.

1: J = 1, K = 0 → Q = 1

2: J = 1, K = 0 → Q = 1

3: J = 1, K = 0 → Q = 1

4: J = 1, K = 0 → Q = 1

5: J = 0, K = 0 → Q = 1

6: J = 1, K = 1 → Q = 0

7: J = 0, K = 1 → Q = 0

8: J = 0, K = 1 → Q = 0

변화 세기

0 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 0 → 0 → 0

N = 2

답

N = 2

7.정수론과 모듈러 연산

답: x = 42

역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

65의 역원

r = 97, t = 0

r = 65, q = 1, t = 1

r = 32, q = 2, t = −1

r = 1, q = 32, t = 3

65⁻¹ ≡ 3 (mod 97)

풀기

x ≡ 3·14 = 42 ≡ 42 (mod 97)

검산: 65·42 = 2730 ≡ 14 (mod 97)

답

x = 42

8.정수론과 모듈러 연산

답: m = 157

모듈러 거듭제곱과 RSA: aᵏ mod n은 반복 제곱법으로 계산합니다. k를 이진수로 쓰고, 제곱하고, 단계마다 나머지를 취하고, 비트가 1인 거듭제곱들을 곱하세요. 페르마: a를 나누지 않는 소수 p에 대해 aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)이므로 지수를 p − 1을 법으로 줄일 수 있습니다. RSA: 소수 p와 q를 고르고, n = p·q, φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다. 공개 지수 e는 φ(n)과 서로소이고 개인 지수는 d = e⁻¹ mod φ(n)입니다. c = mᵉ mod n으로 암호화하고 m = cᵈ mod n으로 복호화합니다.

개인 지수

n = 799, φ(n) = 736

d = 7⁻¹ mod 736 = 631

반복 제곱법으로 복호화하기

631 = 512 + 64 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1

455¹ ≡ 455 (mod 799)

455² ≡ 84 (mod 799)

455⁴ ≡ 664 (mod 799)

455⁸ ≡ 647 (mod 799)

455¹⁶ ≡ 732 (mod 799)

455³² ≡ 494 (mod 799)

455⁶⁴ ≡ 341 (mod 799)

455¹²⁸ ≡ 426 (mod 799)

455²⁵⁶ ≡ 103 (mod 799)

455⁵¹² ≡ 222 (mod 799)

455⁶³¹ ≡ 455·84·664·732·494·341·222 ≡ 157 (mod 799)

메시지

m = 157

차수

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

홀수 정점

A, B, C, E → 4

둘 다 아님

답

둘 다 아님

14.그래프 이론

답: N = 2

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. K_n은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 1

A · 기본 게이트웨이가 없거나 잘못됨

19.IPv4 서브네팅

답: p = 22

IPv4 서브네팅: 주소는 32비트입니다. 접두사 /p는 앞의 몇 비트가 네트워크를 나타내는지를 말하고, 나머지 32 − p비트로 호스트 번호를 매깁니다. 서브넷에는 주소가 2³²⁻ᵖ개 있지만 첫 주소(네트워크 주소)와 마지막 주소(브로드캐스트 주소)는 호스트에 줄 수 없어 호스트 2³²⁻ᵖ − 2개가 들어갑니다. 예외: /31(점대점 링크, RFC 3021)은 주소 2개를 모두 호스트에 쓰고, /32는 단일 주소(단일 호스트 또는 루프백)입니다.

필요한 호스트 비트

2⁹ − 2 = 510 < 526

2¹⁰ − 2 = 1022 ≥ 526 → h = 10

접두사 길이

p = 32 − 10 = 22

답

p = /22

20.IPv4 서브네팅

답: p = 19

경로 요약: 요약 경로 a.b.c.0/p는 처음 p비트가 일치하는 모든 네트워크를 포함합니다. 첫 번째와 마지막 네트워크에서 다른 옥텟을 2진수로 쓰고, 공통 앞쪽 비트 수에 그 앞 옥텟들의 비트를 더하면 가장 긴 요약 접두사가 됩니다.

비트 비교

45 = 00101101

48 = 00110000

공통 앞쪽 비트: 3

접두사 길이

p = 16 + 3 = 19

답

p = /19

요약 경로: 10.165.32.0/19 (목록에 없는 네트워크 28개도 포함합니다).

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