컴퓨터과학 기초: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

진법

자릿값: 2진수 2^k, 8진수 8^k, 16진수 16^k
10진수로: Σ d_k·b^k
10진수에서: 기수로 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽음
16진수 ↔ 2진수: 16진수 한 자리 = 4비트
2의 보수: 비트를 반전하고 1을 더함

명제논리와 증명

진리표의 행 수: 2ⁿ
함의: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
함의의 부정: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
쌍조건: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
드모르간 법칙: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
분배법칙: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
한정자의 부정: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
전건 긍정법, 후건 부정법: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

방법

서로 다른 변수의 개수를 세세요. 진리표는 2ⁿ개의 행을 가지며, 첫 행은 모두 1입니다.
모든 부분식에 각각 열을 하나씩 주고, 안쪽부터 바깥쪽으로 열을 채우세요.
각 연결자의 규칙을 적용하세요. →는 1 → 0일 때만 0이고, ↔는 양쪽이 같을 때 1입니다.
동치는 마지막 열을 행마다 비교하고, 논증은 모든 전제가 1인 행만 살펴보세요.
한정된 문장을 부정하려면 ¬를 안쪽으로 옮기고, ∀와 ∃를 서로 바꾸고, 안쪽 식을 부정하세요.

디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

기본 게이트: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
불 규칙: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
드모르간 법칙: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
카르노 맵의 순서: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ칸의 그룹: 변수 k개를 잃음
4-대-1 멀티플렉서: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
플립플롭: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
카운터: n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; f_out = f_clk/N
리플 카운터: f_max = 1/(n·t_pd)
링 카운터와 존슨 카운터: 상태 n개와 2n개

방법

회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.

정수론과 모듈러 연산

나머지가 있는 나눗셈: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
유클리드: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
최소공배수: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
역행렬: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
일차 합동식: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
오일러 피 함수: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
페르마: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

방법

먼저 모든 수를 n으로 나눈 나머지로 줄이세요. 나머지는 0부터 n − 1 사이에 있습니다.
최대공약수는 유클리드 호제법으로 계속 나누세요. 0이 아닌 마지막 나머지가 최대공약수입니다.
역원은 확장 알고리즘을 실행해 a의 계수를 취하고, 음수이면 n을 더하세요.
a·x ≡ b는 a⁻¹을 곱해서 풀고, 두 합동식은 x = r₁ + m₁k로 써서 합치세요.
거듭제곱은 지수를 이진수로 쓰고 거듭 제곱하세요. RSA에서는 d = e⁻¹ mod φ(n)이고 φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다.

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

IPv4 서브네팅

서브넷당 호스트 수: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
블록 크기: 256 − (mask octet)
네트워크 주소: IP AND 마스크
브로드캐스트 주소: IP OR (NOT 마스크): 호스트 비트를 모두 1로
n비트를 빌렸을 때의 서브넷 수: 2ⁿ

2연습 문제

1.진법보통

8비트 패턴 1001 0011는 부호 있는 정수를 2의 보수로 저장합니다. 10진수 값 N는 얼마일까요?

1001 00118 bit

N =

2.진법어려움

12비트에 들어가는 가장 큰 부호 없는 정수 N는 얼마일까요?

12 bit

N =

3.명제논리와 증명보통

¬a → (b ∨ c)을(를) 귀류법으로 증명하려 한다. 처음에 어떤 문장을 가정해야 하는가? 클릭하세요.

¬a → (b ∨ c)

1¬¬a ∧ (b ∨ c)
2¬¬a → ¬(b ∨ c)
3¬¬a ∧ ¬(b ∨ c)
4¬a ∧ ¬(b ∨ c)

4.명제논리와 증명어려움

부정을 가장 안쪽까지 옮긴 ¬∀x (A(x) ∨ B(x))와(과) 동치인 문장은 어느 것인가? 클릭하세요.

¬∀x (A(x) ∨ B(x))

1∀x (¬A(x) ∨ ¬B(x))
2∃x (¬A(x) ∧ ¬B(x))
3∃x (¬A(x) ∨ ¬B(x))
4∀x (¬A(x) ∧ ¬B(x))

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통

4-대-1 멀티플렉서의 선택 입력은 S₁ = A, S₀ = B이고 데이터 입력은 I₀ = 1, I₁ = 1, I₂ = C′, I₃ = C에 연결되어 있다. A, B, C의 8가지 조합 중 몇 개에서 출력 F = 1인가? N을(를) 구하시오.

I₀ = 1I₁ = 1I₂ = C′I₃ = C

N =

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움

d가 무정의항을 나타낼 때 F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 8, 10, 14) + d(3, 5, 15)의 최소 SOP 형태를 구하시오. 곱항은 몇 개(N)인가?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 8, 10, 14) + d(3, 5, 15)

N =

7.정수론과 모듈러 연산보통

31을(를) 법으로 하는 21의 역원, 곧 0 < x < 31이고 21·x ≡ 1 (mod 31)인 수 x을(를) 구하시오.

a = 21n = 31

21⁻¹ mod 31 =

8.정수론과 모듈러 연산어려움

RSA 키가 소수 p = 11, q = 13과 공개 지수 e = 23를 쓴다. 개인 지수 d(0 < d < φ(n))을(를) 구하시오.

p = 11q = 13e = 23

d =

9.알고리즘과 복잡도보통

가중치가 없는 그래프에서 너비 우선 탐색(BFS)은 무엇을 찾습니까?

A음의 간선 가중치를 포함한 그래프에서의 최단 경로
B모든 그래프에서의 위상 순서
C시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로
D최소 신장 트리

10.알고리즘과 복잡도어려움

일부 간선 가중치가 음수일 때 다익스트라 알고리즘이 틀린 결과를 줄 수 있는 이유는 무엇입니까?

A우선순위 큐에 음수를 저장할 수 없기 때문에
B정점은 추출될 때 확정되지만, 나중의 음수 간선이 여전히 더 짧은 경로를 줄 수 있기 때문에
C무방향 그래프에서만 동작하기 때문에
D음수 간선마다 무한 루프에 빠지기 때문에

11.자료구조보통

알파벳이 고정된 트라이(trie)에서 길이 L인 단어를 탐색하는 데 얼마나 걸립니까?

A저장된 단어 수와 관계없이 O(L)
Bn이 단어 수일 때 O(n)
Cn이 단어 수일 때 O(log n)
DO(L × n)

12.자료구조어려움

표준 블룸 필터에서 원소의 비트를 지워 원소를 간단히 삭제할 수 없는 이유는 무엇입니까?

A삭제하면 거짓 양성률이 100%로 올라가기 때문에
B그 비트가 다른 원소에도 속할 수 있어 거짓 음성을 일으키기 때문에
C블룸 필터는 원소 전체를 저장하는데, 해시된 뒤에는 그것을 다시 찾을 수 없기 때문에
D블룸 필터의 비트는 생성 후 바꿀 수 없기 때문에

13.그래프 이론보통

완전그래프 K₇의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K₇

H =

14.그래프 이론어려움

다익스트라 알고리즘이 A에서 시작한다. 3단계에서 확정(영구 결정)되는 정점을 클릭하세요. A 자신은 1단계이다.

시작: A단계 3

15.데이터베이스와 SQL보통

더티 읽기(dirty read)란 무엇입니까?

A아직 커밋하지 않은 다른 트랜잭션이 쓴 데이터를 읽는 것
BWHERE 절 없이 데이터를 읽는 것
C같은 행을 두 번 읽어 같은 값을 얻는 것
D손상된 디스크에서 데이터를 읽는 것

16.데이터베이스와 SQL어려움

한 테이블에 백만 개의 행이 있고 불리언 열 is_active는 95%가 TRUE입니다. WHERE is_active = TRUE에 대해 옵티마이저가 is_active의 인덱스를 무시할 수 있는 이유는 무엇입니까?

A불리언 열에는 인덱스를 만들 수 없다
B인덱스가 TRUE를 NULL로 취급한다
C대부분의 행이 일치하므로 전체 테이블 스캔이 많은 인덱스 조회보다 저렴하다
D옵티마이저는 WHERE 절에서 인덱스를 결코 사용하지 않는다

17.컴퓨터 네트워크보통

1500바이트 패킷을 12 Mbit/s 링크에 올리는 데 걸리는 시간(전송 지연)은 얼마입니까?

A1 ms
B8 ms
C0.125 ms
D12 ms

18.컴퓨터 네트워크어려움

TCP 윈도 스케일 옵션이 도입된 이유는 무엇입니까?

A32비트 윈도 필드가 너무 커서 전송되는 모든 TCP 세그먼트의 헤더 공간을 낭비했다
B16비트 윈도 필드는 윈도를 65,535바이트로 제한하는데, 이는 빠른 장거리 경로에 너무 작다
CUDP가 혼잡한 경로에서 전송률을 제어할 방법이 필요했다
D이것이 없으면 TCP가 장거리 링크에서 손실된 세그먼트를 감지할 수 없었다

19.IPv4 서브네팅보통

네트워크 192.168.10.0/24를 크기가 같은 서브넷 30개 이상으로 나누어야 합니다. 가능한 한 적은 비트를 빌리면 각 서브넷에서 사용 가능한 호스트 H는 몇 개일까요?

192.168.10.0/2430 subnets

H =

20.IPv4 서브네팅어려움

어떤 호스트의 주소가 10.20.233.189/30입니다. 그 서브넷에서 마지막으로 사용 가능한 호스트 주소의 네 번째 옥텟 x는 얼마일까요?

10.20.233.189/30

x =

3용액

1.진법

답: N = −109

위치 기수법: 각 자리의 값은 그 숫자에 밑의 거듭제곱을 곱한 것입니다. 2진수의 자리값은 1, 2, 4, 8, 16, …, 16진수는 1, 16, 256, …이며 A–F는 10–15를 뜻합니다. 8비트 2의 보수에서 가장 왼쪽 비트는 +128이 아니라 −128의 값을 가지며, 이렇게 음수를 저장합니다.

자리값 더하기

나머지 비트는 원래의 양의 자리값을 유지합니다.

−128 + 16 + 2 + 1 = −109

답

N = −109

2.진법

답: N = 4095

최댓값

2¹² − 1 = 4095

답

N = 4095

3.명제논리와 증명

답: ¬a ∧ ¬(b ∨ c)

논리적 동치: 두 식은 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 동치(≡)입니다. 항진명제는 모든 행에서 1이고, 모순은 모든 행에서 0이며, 우연명제는 둘 다 아닙니다. 유용한 법칙: 드모르간 법칙 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b와 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b, a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a(대우), ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b, 그리고 분배법칙 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

함의의 부분

a = ¬a, b = b ∨ c

함의의 부정

¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = ¬a ∧ ¬(b ∨ c)

답

¬a ∧ ¬(b ∨ c)

가정이 모순으로 이어지면 그 함의는 참이어야 합니다.

4.명제논리와 증명

답: ∃x (¬A(x) ∧ ¬B(x))

한정자와 논증: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). 부정을 안쪽으로 옮기고, 지나가는 모든 한정자를 바꾸고, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b 같은 명제 논리 법칙으로 안쪽 식을 부정하세요. 모든 전제가 1인 모든 행에서 결론이 1이면 논증이 타당합니다. 전제는 참인데 결론이 거짓인 행이 하나라도 있으면 그것이 반례이며 그 논증은 타당하지 않음을 보여 줍니다.

부정을 안쪽으로 옮기기

¬∀x (A(x) ∨ B(x)) ≡ ∃x (¬A(x) ∧ ¬B(x))

답

∃x (¬A(x) ∧ ¬B(x))

다른 보기는 한정자를 그대로 두거나, 한정자의 순서를 바꾸거나, 안쪽 식을 잘못 부정한 것입니다.

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 6

멀티플렉서: 2ⁿ-대-1 멀티플렉서는 데이터 입력 중 하나를 출력으로 보내며, 선택선을 이진수로 읽어 어느 것인지 정합니다. 선택선 S₁S₀ = AB인 4-대-1 MUX에서는 F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃입니다. 데이터 입력을 0, 1, C, C′에 연결하면 MUX가 A, B, C의 어떤 함수든 만들 수 있으며, 이는 칩 하나로 논리를 구현하는 흔한 방법입니다.

출력식

F = A′B′ + A′B + AB′C′ + ABC

F = 1인 행

ABC = 000, 001, 010, 011, 100, 111

N = 6

답

N = 6

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 5

카르노 맵: 칸은 그레이 코드(00, 01, 11, 10) 순서로 배열되므로, 가장자리를 넘어 이웃한 칸을 포함해 이웃한 칸은 정확히 한 변수만 다릅니다. 모든 1이 덮일 때까지 1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 직사각형으로, 가능한 한 크고 가능한 한 적게 묶으세요. 각 그룹은 그 안에서 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. 2ᵏ칸의 그룹은 변수 k개를 잃습니다. 무정의항(X)은 그룹을 키우는 데 쓸 수 있지만 반드시 덮을 필요는 없습니다. 0들을 묶으면 최소 POS 형태가 나옵니다.

소 임플리컨트

1과 X로 만들 수 있는 가장 큰 그룹들.

B′CD′, A′C′D, ACD′, A′B′D, AB′D′, A′B′C, A′BC′, ABC

최소 덮개

F = B′CD′ + A′C′D + ACD′ + AB′D′ + A′BC′

N = 5

답

N = 5

같은 크기의 다른 묶음도 있으며, 항과 리터럴의 수는 같습니다.

7.정수론과 모듈러 연산

답: 21⁻¹ mod 31 = 3

역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

확장 유클리드 알고리즘

각 나머지 r은 r ≡ t·21 (mod 31)로 쓸 수 있습니다.

r = 31, t = 0

r = 21, q = 1, t = 1

r = 10, q = 2, t = −1

r = 1, q = 10, t = 3

역행렬

1 ≡ 3·21 (mod 31)

x = 3

검산: 21·3 = 63 = 2·31 + 1

답

21⁻¹ mod 31 = 3

8.정수론과 모듈러 연산

답: d = 47

모듈러 거듭제곱과 RSA: aᵏ mod n은 반복 제곱법으로 계산합니다. k를 이진수로 쓰고, 제곱하고, 단계마다 나머지를 취하고, 비트가 1인 거듭제곱들을 곱하세요. 페르마: a를 나누지 않는 소수 p에 대해 aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)이므로 지수를 p − 1을 법으로 줄일 수 있습니다. RSA: 소수 p와 q를 고르고, n = p·q, φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다. 공개 지수 e는 φ(n)과 서로소이고 개인 지수는 d = e⁻¹ mod φ(n)입니다. c = mᵉ mod n으로 암호화하고 m = cᵈ mod n으로 복호화합니다.

법과 오일러 피 함수 값

n = 11·13 = 143

φ(n) = 10·12 = 120

확장 유클리드 알고리즘

r = 120, t = 0

r = 23, q = 5, t = 1

r = 5, q = 4, t = −5

r = 3, q = 1, t = 21

r = 2, q = 1, t = −26

r = 1, q = 2, t = 47

개인 지수

d = 47

세기

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

답

H = 360

14.그래프 이론

답: C

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

1. A (0): B: 10, C: 14

2. B (10): C: 12, D: 13, E: 22

3. C (12)

4. D (13): E: 20, F: 18

5. F (18)

원래 헤더는 확인되지 않은 데이터를 최대 65,535바이트까지만 허용합니다. 윈도 스케일링은 이를 2의 거듭제곱만큼 곱하여 대역폭-지연 곱이 큰 경로를 채울 수 있게 합니다.

답

B · 16비트 윈도 필드는 윈도를 65,535바이트로 제한하는데, 이는 빠른 장거리 경로에 너무 작다

19.IPv4 서브네팅

답: H = 6

IPv4 서브네팅: 주소는 32비트입니다. 접두사 /p는 앞의 몇 비트가 네트워크를 나타내는지를 말하고, 나머지 32 − p비트로 호스트 번호를 매깁니다. 서브넷에는 주소가 2³²⁻ᵖ개 있지만 첫 주소(네트워크 주소)와 마지막 주소(브로드캐스트 주소)는 호스트에 줄 수 없어 호스트 2³²⁻ᵖ − 2개가 들어갑니다. 예외: /31(점대점 링크, RFC 3021)은 주소 2개를 모두 호스트에 쓰고, /32는 단일 주소(단일 호스트 또는 루프백)입니다.

빌릴 비트 수

2⁵ = 32 ≥ 30 → b = 5, /29

서브넷당 호스트 수

2³ − 2 = 6

답

H = 6

20.IPv4 서브네팅

답: x = 190

블록 크기

2² = 4

이 호스트의 서브넷

네트워크: ⌊189/4⌋·4 = 188

브로드캐스트: 188 + 4 − 1 = 191

사용 가능한 호스트: 189 … 190

답

x = 190

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