컴퓨터과학 기초: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

진법

자릿값: 2진수 2^k, 8진수 8^k, 16진수 16^k
10진수로: Σ d_k·b^k
10진수에서: 기수로 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽음
16진수 ↔ 2진수: 16진수 한 자리 = 4비트
2의 보수: 비트를 반전하고 1을 더함

명제논리와 증명

진리표의 행 수: 2ⁿ
함의: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
함의의 부정: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
쌍조건: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
드모르간 법칙: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
분배법칙: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
한정자의 부정: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
전건 긍정법, 후건 부정법: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

방법

서로 다른 변수의 개수를 세세요. 진리표는 2ⁿ개의 행을 가지며, 첫 행은 모두 1입니다.
모든 부분식에 각각 열을 하나씩 주고, 안쪽부터 바깥쪽으로 열을 채우세요.
각 연결자의 규칙을 적용하세요. →는 1 → 0일 때만 0이고, ↔는 양쪽이 같을 때 1입니다.
동치는 마지막 열을 행마다 비교하고, 논증은 모든 전제가 1인 행만 살펴보세요.
한정된 문장을 부정하려면 ¬를 안쪽으로 옮기고, ∀와 ∃를 서로 바꾸고, 안쪽 식을 부정하세요.

디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

기본 게이트: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
불 규칙: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
드모르간 법칙: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
카르노 맵의 순서: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ칸의 그룹: 변수 k개를 잃음
4-대-1 멀티플렉서: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
플립플롭: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
카운터: n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; f_out = f_clk/N
리플 카운터: f_max = 1/(n·t_pd)
링 카운터와 존슨 카운터: 상태 n개와 2n개

방법

회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.

정수론과 모듈러 연산

나머지가 있는 나눗셈: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
유클리드: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
최소공배수: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
역행렬: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
일차 합동식: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
오일러 피 함수: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
페르마: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

방법

먼저 모든 수를 n으로 나눈 나머지로 줄이세요. 나머지는 0부터 n − 1 사이에 있습니다.
최대공약수는 유클리드 호제법으로 계속 나누세요. 0이 아닌 마지막 나머지가 최대공약수입니다.
역원은 확장 알고리즘을 실행해 a의 계수를 취하고, 음수이면 n을 더하세요.
a·x ≡ b는 a⁻¹을 곱해서 풀고, 두 합동식은 x = r₁ + m₁k로 써서 합치세요.
거듭제곱은 지수를 이진수로 쓰고 거듭 제곱하세요. RSA에서는 d = e⁻¹ mod φ(n)이고 φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다.

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

IPv4 서브네팅

서브넷당 호스트 수: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
블록 크기: 256 − (mask octet)
네트워크 주소: IP AND 마스크
브로드캐스트 주소: IP OR (NOT 마스크): 호스트 비트를 모두 1로
n비트를 빌렸을 때의 서브넷 수: 2ⁿ

2연습 문제

1.진법보통

8비트 2의 보수로 −14을 저장하도록 비트를 설정하세요. 부호 없는 수로 읽으면 패턴의 값 U은 얼마입니까?

N = −148 bit

U =

2.진법어려움

어떤 시스템이 2594개 항목 각각에 같은 길이의 고유한 2진 코드를 주어야 합니다. 필요한 최소 비트 수 b는 얼마일까요?

2594

b = bit

3.명제논리와 증명보통

¬(p ∨ ¬p)은(는) 항진명제, 모순, 우연명제 중 무엇인가? 답을 클릭하세요.

¬(p ∨ ¬p)

1항진명제
2모순
3우연명제

4.명제논리와 증명어려움

전제 r → q; q과(와) 결론 r을(를) 가진 논증은 타당하지 않다. 반례가 되는 진리표의 행을 클릭하세요.

r → qq∴ r

1q = 1, r = 1
2q = 1, r = 0
3q = 0, r = 1
4q = 0, r = 0

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통

4-대-1 멀티플렉서의 선택 입력은 S₁ = A, S₀ = B이고 데이터 입력은 I₀ = 0, I₁ = 0, I₂ = C, I₃ = 1에 연결되어 있다. A, B, C의 8가지 조합 중 몇 개에서 출력 F = 1인가? N을(를) 구하시오.

I₀ = 0I₁ = 0I₂ = CI₃ = 1

N =

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움

존슨(꼬인 링) 카운터가 D 플립플롭 6개로 만들어져 있고 반전된 마지막 출력이 첫 입력으로 되먹임되며, 모두 0인 상태에서 시작한다. 서로 다른 상태를 몇 개(N) 거치는가?

n = 6

N =

7.정수론과 모듈러 연산보통

25x ≡ 24 (mod 31)을(를) 푸시오. 0 < x < 31인 해 x을(를) 구하시오.

25x ≡ 24 (mod 31)

x =

8.정수론과 모듈러 연산어려움

18x ≡ 9 (mod 45)은(는) {0, 1, …, 44}에서 해가 몇 개(N)인가?

18x ≡ 9 (mod 45)

N =

9.알고리즘과 복잡도보통

길이가 m과 n인 문자열의 최장 공통 부분 수열에 대한 표준 동적 계획법 알고리즘의 시간 복잡도는 무엇입니까?

AO(m + n)
BO(mn log n)
CO(2^m+n)
DO(mn)

10.알고리즘과 복잡도어려움

어떤 문제가 NP-완전(NP-complete)이려면 어떤 조건을 만족해야 합니까?

A다항 시간에 풀 수 있다
BNP 밖에 있으면서 정지 문제처럼 모든 NP 문제보다 어렵다
C푸는 것이 불가능하다
DNP에 속하고 모든 NP 문제가 다항 시간에 그 문제로 환원된다

11.자료구조보통

균형 이진 탐색 트리에서 키를 탐색하는 시간 복잡도는 무엇입니까?

AO(n)
BO(n log n)
CO(log n)
DO(1)

12.자료구조어려움

세그먼트 트리는 일반적으로 무엇에 사용됩니까?

A그래프의 간선을 저장하는 데
B스택을 구현하는 데
C구간 질의(구간 합 등)와 갱신을 O(log n)에 처리하는 데
D각 접두사를 별도의 트리 노드에 저장하여 문자열을 알파벳순으로 정렬하는 데

13.그래프 이론보통

트리에 차수가 3인 정점 2개, 차수가 4인 정점 4개, 차수가 5인 정점 2개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

2 × deg 34 × deg 42 × deg 5

L =

14.그래프 이론어려움

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F

d(F) =

15.데이터베이스와 SQL보통

커밋된 변경이 시스템 충돌 후에도 살아남도록 보장하는 ACID 속성은 무엇입니까?

A원자성
B고립성
C지속성
D일관성

16.데이터베이스와 SQL어려움

SELECT name, dept, AVG(salary) OVER (PARTITION BY dept) FROM emp는 무엇을 반환합니까?

A부서마다 평균 급여를 담은 한 행
B모든 직원 행과 그 부서의 평균 급여
Cname이 GROUP BY에 없으므로 오류
D부서 평균보다 많이 버는 직원만

17.컴퓨터 네트워크보통

분산 서비스 거부(DDoS) 공격의 특징은 무엇입니까?

A바이러스가 한 PC의 파일을 삭제한다
B공격자가 근처 자동차에서 암호화되지 않은 Wi-Fi 트래픽을 읽는다
C감염된 많은 기기가 대상에 트래픽을 퍼붓는다
D한 공격자가 사용자의 비밀번호를 추측한다

18.컴퓨터 네트워크어려움

인터넷에서 BGP의 주된 역할은 무엇입니까?

A자율 시스템(AS) 간에 라우팅 정보를 교환한다
B라우터 간의 데이터를 암호화한다
C이름을 주소로 해석한다
D인터넷 사업자를 통해 가정 사용자에게 IP 주소를 할당한다

19.IPv4 서브네팅보통

어느 부서가 한 서브넷에 호스트 주소 608개가 필요합니다. 충분한 가장 긴 접두사 길이 p(가장 작은 서브넷)는 얼마일까요?

608 hosts

p =

20.IPv4 서브네팅어려움

라우터에 다음 네트워크로의 경로가 있습니다: 10.180.97.0/24, 10.180.98.0/24, 10.180.99.0/24, 10.180.100.0/24. 이들을 모두 포함하는 단일 요약 경로의 가장 긴 접두사 길이 p는 얼마일까요?

10.180.97.0/24 … 10.180.100.0/24

p =

3용액

1.진법

답: U = 242

비트 설정: 각 비트는 2의 거듭제곱(128, 64, …, 1)의 값을 가집니다. 16진수 한 자리는 정확히 네 비트이고, 8비트 2의 보수에서 맨 왼쪽 비트의 값은 −128입니다. 비트 연산은 각 비트 자리를 따로 처리합니다.

반전하고 1 더하기

14 = 0000 1110

반전 후: 1111 0001

+1 → 1111 0010

부호 없는 수로 읽기

1111 0010₂ = 256 − 14 = 242

답

U = 242

2.진법

답: b = 12 bit

위치 기수법: 각 자리의 값은 그 숫자에 밑의 거듭제곱을 곱한 것입니다. 2진수의 자리값은 1, 2, 4, 8, 16, …, 16진수는 1, 16, 256, …이며 A–F는 10–15를 뜻합니다. 8비트 2의 보수에서 가장 왼쪽 비트는 +128이 아니라 −128의 값을 가지며, 이렇게 음수를 저장합니다.

2의 거듭제곱

2¹¹ = 2048 < 2594

2¹² = 4096 ≥ 2594

답

b = 12

3.명제논리와 증명

답: 모순

논리적 동치: 두 식은 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 동치(≡)입니다. 항진명제는 모든 행에서 1이고, 모순은 모든 행에서 0이며, 우연명제는 둘 다 아닙니다. 유용한 법칙: 드모르간 법칙 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b와 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b, a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a(대우), ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b, 그리고 분배법칙 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

행별 진리표

p = 1: ¬p = 0, p ∨ ¬p = 1, ¬(p ∨ ¬p) = 0

p = 0: ¬p = 1, p ∨ ¬p = 1, ¬(p ∨ ¬p) = 0

분류

¬(p ∨ ¬p): 0, 0

모든 행에서 0: 모순.

답

모순

4.명제논리와 증명

답: q = 1, r = 0

한정자와 논증: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). 부정을 안쪽으로 옮기고, 지나가는 모든 한정자를 바꾸고, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b 같은 명제 논리 법칙으로 안쪽 식을 부정하세요. 모든 전제가 1인 모든 행에서 결론이 1이면 논증이 타당합니다. 전제는 참인데 결론이 거짓인 행이 하나라도 있으면 그것이 반례이며 그 논증은 타당하지 않음을 보여 줍니다.

행별 전제와 결론

q = 1, r = 1: 1 1 | 1

q = 1, r = 0: 1 1 | 0

q = 0, r = 1: 0 0 | 1

q = 0, r = 0: 1 0 | 0

반례

q = 1, r = 0

답

q = 1, r = 0

이런 형식의 논증은 타당한 규칙처럼 보이지만, 행 하나만으로 그렇지 않음을 보일 수 있습니다.

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 3

멀티플렉서: 2ⁿ-대-1 멀티플렉서는 데이터 입력 중 하나를 출력으로 보내며, 선택선을 이진수로 읽어 어느 것인지 정합니다. 선택선 S₁S₀ = AB인 4-대-1 MUX에서는 F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃입니다. 데이터 입력을 0, 1, C, C′에 연결하면 MUX가 A, B, C의 어떤 함수든 만들 수 있으며, 이는 칩 하나로 논리를 구현하는 흔한 방법입니다.

출력식

F = AB′C + AB

F = 1인 행

ABC = 101, 110, 111

N = 3

답

N = 3

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 12

플립플롭과 카운터: 플립플롭은 클록의 활성 에지에서만 바뀝니다. D는 입력을 복사합니다(Q⁺ = D). T는 T = 1이면 토글합니다. JK는 00이면 유지, 01이면 리셋, 10이면 셋, 11이면 토글합니다. n비트 이진 카운터는 상태가 2ⁿ개이고 2ⁿ을 법으로 세며, mod-N 카운터는 0, 1, …, N − 1을 거쳐 다시 0으로 돌아가고 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n개의 플립플롭이 필요합니다. 리플 카운터는 단마다 주파수가 절반이 되므로 mod-N 카운터의 마지막 출력은 f_clk/N으로 동작합니다. 플립플롭 n개의 존슨 카운터는 상태가 2n개, 링 카운터는 n개입니다.

플립플롭 6개의 순서

000000 → 100000 → 110000 → 111000 → 111100 → 111110 → 111111 → 011111 → 001111 → 000111 → 000011 → 000001

상태의 수

N = 12

답

N = 12

7.정수론과 모듈러 연산

답: x = 27

역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

25의 역원

r = 31, t = 0

r = 25, q = 1, t = 1

r = 6, q = 4, t = −1

r = 1, q = 6, t = 5

25⁻¹ ≡ 5 (mod 31)

풀기

x ≡ 5·24 = 120 ≡ 27 (mod 31)

검산: 25·27 = 675 ≡ 24 (mod 31)

답

x = 27

8.정수론과 모듈러 연산

답: N = 9

gcd로 나누기

gcd(18, 45) = 9

2x ≡ 1 (mod 5)

줄인 합동식 풀기

2⁻¹ ≡ 3 (mod 5) → x ≡ 3 (mod 5)

45을(를) 법으로 한 해

x ∈ {3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43}

트리에 대한 악수 보조정리

L + 32 = 2(L + 8) − 2

L = 18

답

L = 18

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

14.그래프 이론

답: d(F) = 33

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 11, C: 15

B (11): D: 22, G: 13

G (13)

C (15): E: 25

D (22)

E (25): F: 33

F (33)

최단 경로

A → C → E → F

필요한 호스트 비트

2⁹ − 2 = 510 < 608

2¹⁰ − 2 = 1022 ≥ 608 → h = 10

접두사 길이

p = 32 − 10 = 22

답

p = /22

20.IPv4 서브네팅

답: p = 21

경로 요약: 요약 경로 a.b.c.0/p는 처음 p비트가 일치하는 모든 네트워크를 포함합니다. 첫 번째와 마지막 네트워크에서 다른 옥텟을 2진수로 쓰고, 공통 앞쪽 비트 수에 그 앞 옥텟들의 비트를 더하면 가장 긴 요약 접두사가 됩니다.

비트 비교

97 = 01100001

100 = 01100100

공통 앞쪽 비트: 5

접두사 길이

p = 16 + 5 = 21

답

p = /21

요약 경로: 10.180.96.0/21 (목록에 없는 네트워크 4개도 포함합니다).

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