컴퓨터과학 기초: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

진법

자릿값: 2진수 2^k, 8진수 8^k, 16진수 16^k
10진수로: Σ d_k·b^k
10진수에서: 기수로 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽음
16진수 ↔ 2진수: 16진수 한 자리 = 4비트
2의 보수: 비트를 반전하고 1을 더함

명제논리와 증명

진리표의 행 수: 2ⁿ
함의: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
함의의 부정: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
쌍조건: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
드모르간 법칙: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
분배법칙: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
한정자의 부정: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
전건 긍정법, 후건 부정법: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

방법

서로 다른 변수의 개수를 세세요. 진리표는 2ⁿ개의 행을 가지며, 첫 행은 모두 1입니다.
모든 부분식에 각각 열을 하나씩 주고, 안쪽부터 바깥쪽으로 열을 채우세요.
각 연결자의 규칙을 적용하세요. →는 1 → 0일 때만 0이고, ↔는 양쪽이 같을 때 1입니다.
동치는 마지막 열을 행마다 비교하고, 논증은 모든 전제가 1인 행만 살펴보세요.
한정된 문장을 부정하려면 ¬를 안쪽으로 옮기고, ∀와 ∃를 서로 바꾸고, 안쪽 식을 부정하세요.

디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

기본 게이트: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
불 규칙: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
드모르간 법칙: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
카르노 맵의 순서: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ칸의 그룹: 변수 k개를 잃음
4-대-1 멀티플렉서: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
플립플롭: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
카운터: n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; f_out = f_clk/N
리플 카운터: f_max = 1/(n·t_pd)
링 카운터와 존슨 카운터: 상태 n개와 2n개

방법

회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.

정수론과 모듈러 연산

나머지가 있는 나눗셈: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
유클리드: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
최소공배수: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
역행렬: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
일차 합동식: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
오일러 피 함수: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
페르마: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

방법

먼저 모든 수를 n으로 나눈 나머지로 줄이세요. 나머지는 0부터 n − 1 사이에 있습니다.
최대공약수는 유클리드 호제법으로 계속 나누세요. 0이 아닌 마지막 나머지가 최대공약수입니다.
역원은 확장 알고리즘을 실행해 a의 계수를 취하고, 음수이면 n을 더하세요.
a·x ≡ b는 a⁻¹을 곱해서 풀고, 두 합동식은 x = r₁ + m₁k로 써서 합치세요.
거듭제곱은 지수를 이진수로 쓰고 거듭 제곱하세요. RSA에서는 d = e⁻¹ mod φ(n)이고 φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다.

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

IPv4 서브네팅

서브넷당 호스트 수: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
블록 크기: 256 − (mask octet)
네트워크 주소: IP AND 마스크
브로드캐스트 주소: IP OR (NOT 마스크): 호스트 비트를 모두 1로
n비트를 빌렸을 때의 서브넷 수: 2ⁿ

2연습 문제

1.진법보통

−110를 8비트 2의 보수 패턴으로 쓰세요. 그 패턴을 부호 없는 2진수로 읽으면 10진수 값 U는 얼마일까요?

N = −1108 bit

U =

2.진법어려움

어떤 시스템이 4806개 항목 각각에 같은 길이의 고유한 2진 코드를 주어야 합니다. 필요한 최소 비트 수 b는 얼마일까요?

4806

b = bit

3.명제논리와 증명보통

p → q와(과) 논리적으로 동치인 식은 어느 것인가? 클릭하세요.

p → q

1q → p
2¬p → ¬q
3¬p ∨ q
4¬p ∧ q

4.명제논리와 증명어려움

진리표의 16개 행 중 몇 개에서 ((q ∧ s) → ¬p) ∨ ¬(¬(¬q → r) → ¬s)이(가) 참인가? 이 수를 N(이)라 하자.

((q ∧ s) → ¬p) ∨ ¬(¬(¬q → r) → ¬s)

N =

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통

카르노 맵으로 F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 5, 11, 12)의 최소 곱의 합(SOP) 형태를 구하시오. 전체 리터럴은 몇 개(L)인가(프라임이 붙은 변수도 리터럴 하나로 센다)?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 5, 11, 12)

L =

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움

d가 무정의항을 나타낼 때 F(A, B, C, D) = Σm(3, 6, 8, 11, 14, 15) + d(4, 5, 9)의 최소 SOP 형태를 구하시오. 곱항은 몇 개(N)인가?

F(A, B, C, D) = Σm(3, 6, 8, 11, 14, 15) + d(4, 5, 9)

N =

7.정수론과 모듈러 연산보통

61을(를) 법으로 하는 48의 역원, 곧 0 < x < 61이고 48·x ≡ 1 (mod 61)인 수 x을(를) 구하시오.

a = 48n = 61

48⁻¹ mod 61 =

8.정수론과 모듈러 연산어려움

28x ≡ 54 (mod 74)은(는) {0, 1, …, 73}에서 해가 몇 개(N)인가?

28x ≡ 54 (mod 74)

N =

9.알고리즘과 복잡도보통

원소가 1,000,000개인 정렬된 배열에서 이진 탐색은 최악의 경우 대략 몇 번 비교합니까?

A약 1,000
B약 500,000
C약 20
D약 100

10.알고리즘과 복잡도어려움

해시 테이블의 평균 조회 시간은 O(1)인데 최악의 경우는 O(n)인 이유는 무엇입니까?

A해시 함수가 느리기 때문이다
B키를 먼저 정렬해야 하기 때문이다
C배열 접근이 O(n)이기 때문이다
D많은 키가 같은 버킷에서 충돌(collision)할 수 있기 때문이다

11.자료구조보통

무방향 그래프의 인접 행렬에 대해 참인 것은 무엇입니까?

A각 행에 1이 정확히 하나 있다
B주대각선에는 항상 1이 들어 있다
C주대각선에 대해 대칭이다
D항상 상삼각 행렬이다

12.자료구조어려움

배열의 각 원소에 대해 그 오른쪽에서 다음으로 큰 원소를 전체 O(n) 시간에 구하려고 합니다. 도움이 되는 구조는 무엇입니까?

A답을 기다리는 원소들을 유지하는 스택
B모든 원소의 해시 테이블
C원소마다 다시 만드는 이진 탐색 트리
D모든 원소 쌍을 담는 큐

13.그래프 이론보통

트리에 차수가 4인 정점 4개, 차수가 5인 정점 4개, 차수가 2인 정점 3개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

4 × deg 44 × deg 53 × deg 2

L =

14.그래프 이론어려움

가중 그래프의 최소 신장 트리의 총 가중치 W을(를) 구하시오.

|V| = 5|E| = 7

W =

15.데이터베이스와 SQL보통

HAVING에 대한 설명으로 옳은 것은 무엇입니까?

AGROUP BY와 함께 사용할 수 없다
B집계 함수를 사용하여 그룹을 필터링할 수 있다
CSELECT 문에서 WHERE보다 앞에 와야 한다
D결과를 정렬한다

16.데이터베이스와 SQL어려움

(last_name, first_name)에 복합 인덱스가 있습니다. 어떤 조건이 이를 가장 효과적으로 사용할 수 있습니까?

AWHERE last_name = 'Jansen'
BWHERE first_name LIKE '%a'
CWHERE UPPER(first_name) = 'EVA'
DWHERE first_name = 'Eva'

17.컴퓨터 네트워크보통

TLS는 HTTPS에 어떤 보안 속성을 제공합니까?

A방문한 사이트의 모든 악성코드와 피싱으로부터의 보호
B사용자의 익명성
C더 빠른 로딩만
D기밀성, 무결성, 서버 인증

18.컴퓨터 네트워크어려움

LAN에 있는 공격자가 게이트웨이의 IP 주소를 자신의 것이라고 주장하는 위조 ARP 응답을 보냅니다. 예상되는 결과는 무엇입니까?

A피해자가 게이트웨이로 갈 트래픽을 공격자에게 보내게 되어 중간자 공격이 가능해진다
B스위치가 모든 포트를 차단한다
C게이트웨이의 IP 주소가 모든 라우터에서 영구적으로 공격자의 주소로 바뀐다
D인터넷 전체에서 모든 DNS 질의가 실패한다

19.IPv4 서브네팅보통

어느 부서가 한 서브넷에 호스트 주소 681개가 필요합니다. 충분한 가장 긴 접두사 길이 p(가장 작은 서브넷)는 얼마일까요?

681 hosts

p =

20.IPv4 서브네팅어려움

어떤 호스트의 주소가 10.20.198.164/29입니다. 그 서브넷에서 마지막으로 사용 가능한 호스트 주소의 네 번째 옥텟 x는 얼마일까요?

10.20.198.164/29

x =

3용액

1.진법

답: U = 146

위치 기수법: 각 자리의 값은 그 숫자에 밑의 거듭제곱을 곱한 것입니다. 2진수의 자리값은 1, 2, 4, 8, 16, …, 16진수는 1, 16, 256, …이며 A–F는 10–15를 뜻합니다. 8비트 2의 보수에서 가장 왼쪽 비트는 +128이 아니라 −128의 값을 가지며, 이렇게 음수를 저장합니다.

반전하고 1 더하기

110 = 0110 1110

반전 후: 1001 0001

+1 → 1001 0010

부호 없는 수로 읽기

1001 0010₂ = 256 − 110 = 146

답

U = 146

2.진법

답: b = 13 bit

2의 거듭제곱

2¹² = 4096 < 4806

2¹³ = 8192 ≥ 4806

답

b = 13

3.명제논리와 증명

답: ¬p ∨ q

논리적 동치: 두 식은 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 동치(≡)입니다. 항진명제는 모든 행에서 1이고, 모순은 모든 행에서 0이며, 우연명제는 둘 다 아닙니다. 유용한 법칙: 드모르간 법칙 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b와 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b, a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a(대우), ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b, 그리고 분배법칙 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

법칙

a → b는 a = 1이고 b = 0일 때만 0이므로 ¬a ∨ b와 같습니다.

p → q ≡ ¬p ∨ q

진리표로 확인

p = 1, q = 1: 1 | 1 1 1 0

p = 1, q = 0: 0 | 1 1 0 0

p = 0, q = 1: 1 | 0 0 1 1

p = 0, q = 0: 1 | 1 1 1 0

답

¬p ∨ q

막대 뒤의 열은 보기를 표시된 순서대로 나타낸 것입니다.

4.명제논리와 증명

답: N = 14

진리표: 서로 다른 변수가 n개인 식은 참값(1 = 참, 0 = 거짓)의 모든 조합마다 하나씩 2ⁿ개의 행을 가집니다. 안쪽부터 바깥쪽으로 작업하고 모든 부분식에 각각 열을 주세요. ¬a는 값을 뒤집습니다. a ∧ b는 둘 다 1일 때만 1입니다. a ∨ b는 둘 다 0일 때만 0입니다. a → b는 a = 1이고 b = 0일 때만 0입니다. a ↔ b는 양쪽이 같을 때 1입니다.

열

q ∧ s; ¬p; (q ∧ s) → ¬p; ¬q; ¬q → r; ¬(¬q → r); ¬s; ¬(¬q → r) → ¬s; ¬(¬(¬q → r) → ¬s); ((q ∧ s) → ¬p) ∨ ¬(¬(¬q → r) → ¬s)

p을(를) 기준으로 나누기

p = 1: 6

p = 0: 8

N = 6 + 8 = 14

답

N = 14

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: L = 10

카르노 맵: 칸은 그레이 코드(00, 01, 11, 10) 순서로 배열되므로, 가장자리를 넘어 이웃한 칸을 포함해 이웃한 칸은 정확히 한 변수만 다릅니다. 모든 1이 덮일 때까지 1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 직사각형으로, 가능한 한 크고 가능한 한 적게 묶으세요. 각 그룹은 그 안에서 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. 2ᵏ칸의 그룹은 변수 k개를 잃습니다. 무정의항(X)은 그룹을 키우는 데 쓸 수 있지만 반드시 덮을 필요는 없습니다. 0들을 묶으면 최소 POS 형태가 나옵니다.

1 묶기

모든 그룹은 2ᵏ칸의 직사각형입니다. 가장자리 칸은 반대쪽 가장자리의 칸과 이웃합니다.

BC′D′

A′C′D

AB′CD

최소 SOP 형태

F = BC′D′ + A′C′D + AB′CD

L = 10

답

L = 10

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 4

소 임플리컨트

1과 X로 만들 수 있는 가장 큰 그룹들.

B′CD, BCD′, ACD, A′BD′, AB′D, AB′C′, ABC

최소 덮개

F = B′CD + BCD′ + ACD + AB′C′

N = 4

답

N = 4

같은 크기의 다른 묶음도 있으며, 항과 리터럴의 수는 같습니다.

7.정수론과 모듈러 연산

답: 48⁻¹ mod 61 = 14

역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

확장 유클리드 알고리즘

각 나머지 r은 r ≡ t·48 (mod 61)로 쓸 수 있습니다.

r = 61, t = 0

r = 48, q = 1, t = 1

r = 13, q = 3, t = −1

r = 9, q = 1, t = 4

r = 4, q = 2, t = −5

r = 1, q = 4, t = 14

역행렬

1 ≡ 14·48 (mod 61)

x = 14

검산: 48·14 = 672 = 11·61 + 1

답

48⁻¹ mod 61 = 14

8.정수론과 모듈러 연산

답: N = 2

gcd로 나누기

gcd(28, 74) = 2

14x ≡ 27 (mod 37)

줄인 합동식 풀기

14⁻¹ ≡ 8 (mod 37) → x ≡ 31 (mod 37)

74을(를) 법으로 한 해

x ∈ {31, 68}

트리에 대한 악수 보조정리

L + 42 = 2(L + 11) − 2

L = 22

답

L = 22

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

14.그래프 이론

답: W = 35

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

BE (5): 선택

DE (8): 선택

A · 피해자가 게이트웨이로 갈 트래픽을 공격자에게 보내게 되어 중간자 공격이 가능해진다

19.IPv4 서브네팅

답: p = 22

IPv4 서브네팅: 주소는 32비트입니다. 접두사 /p는 앞의 몇 비트가 네트워크를 나타내는지를 말하고, 나머지 32 − p비트로 호스트 번호를 매깁니다. 서브넷에는 주소가 2³²⁻ᵖ개 있지만 첫 주소(네트워크 주소)와 마지막 주소(브로드캐스트 주소)는 호스트에 줄 수 없어 호스트 2³²⁻ᵖ − 2개가 들어갑니다. 예외: /31(점대점 링크, RFC 3021)은 주소 2개를 모두 호스트에 쓰고, /32는 단일 주소(단일 호스트 또는 루프백)입니다.

필요한 호스트 비트

2⁹ − 2 = 510 < 681

2¹⁰ − 2 = 1022 ≥ 681 → h = 10

접두사 길이

p = 32 − 10 = 22

답

p = /22

20.IPv4 서브네팅

답: x = 166

블록 크기

2³ = 8

이 호스트의 서브넷

네트워크: ⌊164/8⌋·8 = 160

브로드캐스트: 160 + 8 − 1 = 167

사용 가능한 호스트: 161 … 166

답

x = 166

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