어떤 양은 평균 70, 표준편차 12인 정규분포를 따릅니다. 88보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?
μ = 70σ = 12x = 88
P =
5.신뢰구간보통
관측값 50개와 알려진 σ에 근거한 평균의 90% 신뢰구간의 오차 한계는 4.7이다. 관측값 100개에 근거한 99% 구간의 오차 한계 E₂은(는) 얼마인가?
90%n₁ = 50E₁ = 4.799%n₂ = 100
E₂ =
6.신뢰구간어려움
모표준편차는 11입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 3 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?
σ = 11E = 390%
n =
7.가설 검정과 신뢰구간보통
두 생산 라인이 같은 부품을 만든다. 라인 1: 부품 80개 표본의 평균 길이는 143.5 mm이고, 라인의 알려진 표준 편차는 13 mm이다. 라인 2: 부품 80개 표본의 평균은 150.9 mm, 알려진 표준 편차는 16 mm이다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(라인 1 빼기 라인 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 z을(를) 구하시오.
가능도비와 위험 지표: LR+ = 민감도/(1 − 특이도), LR− = (1 − 민감도)/특이도. 임상시험에서 EER와 CER는 치료군과 비치료군의 사건 발생률입니다: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER, NNT = 1/ARR이며 올림합니다. 환자-대조군 연구에서는 오즈비 OR = ad/(bc)만 사용할 수 있습니다. 발생률 = 신규 환자/인시(person-time).
민감도와 특이도
Se = 193/230 = 0.8391
Sp = 1891/1990 = 0.9503
음성 가능도비
LR− = (1 − 0.8391)/0.9503 = 0.1693 ≈ 0.17
답
LR− = 0.17
2.근거기반 실무 통계
답: FN = 319
예측도는 유병률에 따라 달라집니다: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)), NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). 가능도비를 쓰면 검사 전 오즈 = p/(1 − p), 검사 후 오즈 = 검사 전 오즈 × LR, 확률 = 오즈/(1 + 오즈)입니다. 인구 N에서 진양성 = N·p·Se, 위양성 = N·(1 − p)·(1 − Sp)입니다. NNT = 1/(CER × RRR)이며 올림합니다.
질병 있음과 없음
10 000·0.29 = 2900
10 000 − 2900 = 7100
위음성
FN = 2900·0.11 = 319
답
FN = 319
3.기술통계
답: s = 13.5
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
표준화하기
z = 1.5
표준정규분포표
Φ(1.5) = 0.9332
P = 0.9332
답
P = 0.9332
5.신뢰구간
답: E₂ = 5.204
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
오차 한계의 비
E₂/E₁ = (2.576/1.645)·√(50/100) = 1.107
새 오차 한계
E₂ = 4.7·1.107 = 5.204
답
E₂ = 5.204
6.신뢰구간
답: n = 37
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
n에 대해 풀기
n = (1.645·11/3)² = 36.38
올림하기
표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.
n = 37
답
n = 37
7.가설 검정과 신뢰구간
답: z = −3.211
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
차의 표준 오차
SE = √(13²/80 + 16²/80) = √5.313 = 2.305
검정통계량
z = (143.5 − 150.9)/2.305 = −3.211
답
z = −3.211
|z| > 1.96이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.
8.가설 검정과 신뢰구간
답: L = 85.74
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.