두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 8개 구획, 평균 수확량 44 kg, 표준 편차 3.5 kg. 구획 집단 2: 6개 구획, 평균 38 kg, 표준 편차 4.5 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하시오.
학생 100명 표본의 평균 점수는 51.92, 표본 표준편차는 8입니다. H₀: μ = 50에 대한 검정통계량 t를 구하세요.
μ₀ = 50x̄ = 51.92s = 8n = 100
t =
8.가설 검정과 신뢰구간어려움
H₀: μ = 50 대 H₁: μ < 50의 단측 z 검정을 표본 크기 25, α = 0.01에서 실시한다. 표준 편차는 12.5로 알려져 있다. 실제 평균은 40이다. 제2종 오류의 확률 β을(를) 퍼센트로 구하시오.
μ₀ = 50μ = 40σ = 12.5n = 25α = 0.01
β = %
3용액
1.근거기반 실무 통계
답: LR− = 0.39
가능도비와 위험 지표: LR+ = 민감도/(1 − 특이도), LR− = (1 − 민감도)/특이도. 임상시험에서 EER와 CER는 치료군과 비치료군의 사건 발생률입니다: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER, NNT = 1/ARR이며 올림합니다. 환자-대조군 연구에서는 오즈비 OR = ad/(bc)만 사용할 수 있습니다. 발생률 = 신규 환자/인시(person-time).
음성 가능도비
LR− = (1 − 0.7)/0.77 = 0.3896 ≈ 0.39
답
LR− = 0.39
2.근거기반 실무 통계
답: TP = 940
예측도는 유병률에 따라 달라집니다: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)), NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). 가능도비를 쓰면 검사 전 오즈 = p/(1 − p), 검사 후 오즈 = 검사 전 오즈 × LR, 확률 = 오즈/(1 + 오즈)입니다. 인구 N에서 진양성 = N·p·Se, 위양성 = N·(1 − p)·(1 − Sp)입니다. NNT = 1/(CER × RRR)이며 올림합니다.
질병 있음과 없음
10 000·0.1 = 1000
10 000 − 1000 = 9000
진양성
TP = 1000·0.94 = 940
답
TP = 940
3.기술통계
답: s = 17.25
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
표준화하기
z = (78 − 70)/20 = 0.4
답
z = 0.4
5.신뢰구간
답: E = 5.23 h
차의 구간: 추정값 ± 임곗값 × 표준 오차. σ를 아는 독립 두 평균: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂)와 z. 미지의 분산이 같으면: 합동 s_p와 자유도 n₁ + n₂ − 2의 t. 대응 자료는 차이로 계산합니다: d̄ ± t·s_d/√n.
점추정값
x̄₁ − x̄₂ = 44 − 29 = 15
표준오차
SE = √(8²/100 + 18²/50) = 2.668
오차 한계
E = 1.96·2.668 = 5.23
답
E = 5.23 h
구간이 0을 포함하지 않으므로 두 평균은 유의하게 다릅니다.
6.신뢰구간
답: 상한 = 9.799 kg
차의 구간: 추정값 ± 임곗값 × 표준 오차. σ를 아는 독립 두 평균: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂)와 z. 미지의 분산이 같으면: 합동 s_p와 자유도 n₁ + n₂ − 2의 t. 대응 자료는 차이로 계산합니다: d̄ ± t·s_d/√n.
합동 표준 편차
sp² = (7·3.5² + 5·4.5²)/12 = 15.58
sp = 3.948
오차 한계
E = 1.782·3.948·√(1/8 + 1/6) = 3.799
구간
6 ± 3.799 → [2.201, 9.799]
답
상한 = 9.799 kg
7.가설 검정과 신뢰구간
답: t = 2.4
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.
표준오차
SE = 8/√100 = 8/10 = 0.8
검정통계량
t = (51.92 − 50)/0.8 = 2.4
답
t = 2.4
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| > 1.984이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.
8.가설 검정과 신뢰구간
답: β = 4.707 %
검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).