어떤 양은 평균 70, 표준편차 15인 정규분포를 따릅니다. 47.5보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?
μ = 70σ = 15x = 47.5
P =
5.신뢰구간보통
관측값 100개와 알려진 σ에 근거한 평균의 90% 신뢰구간의 오차 한계는 6.2이다. 같은 자료로 95% 구간을 만들면 오차 한계 E₂은(는) 얼마인가?
90%n₁ = 100E₁ = 6.295%
E₂ =
6.신뢰구간어려움
두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 5개 구획, 평균 수확량 94 kg, 표준 편차 8 kg. 구획 집단 2: 9개 구획, 평균 103.5 kg, 표준 편차 3.5 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 90% 신뢰구간의 하한을 구하시오.
가능도비와 위험 지표: LR+ = 민감도/(1 − 특이도), LR− = (1 − 민감도)/특이도. 임상시험에서 EER와 CER는 치료군과 비치료군의 사건 발생률입니다: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER, NNT = 1/ARR이며 올림합니다. 환자-대조군 연구에서는 오즈비 OR = ad/(bc)만 사용할 수 있습니다. 발생률 = 신규 환자/인시(person-time).
민감도와 특이도
Se = 36/40 = 0.9
Sp = 1352/1960 = 0.6898
양성 가능도비
LR+ = 0.9/(1 − 0.6898) = 2.901 ≈ 2.9
답
LR+ = 2.9
2.근거기반 실무 통계
답: FN = 170
예측도는 유병률에 따라 달라집니다: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)), NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). 가능도비를 쓰면 검사 전 오즈 = p/(1 − p), 검사 후 오즈 = 검사 전 오즈 × LR, 확률 = 오즈/(1 + 오즈)입니다. 인구 N에서 진양성 = N·p·Se, 위양성 = N·(1 − p)·(1 − Sp)입니다. NNT = 1/(CER × RRR)이며 올림합니다.
질병 있음과 없음
10 000·0.1 = 1000
10 000 − 1000 = 9000
위음성
FN = 1000·0.17 = 170
답
FN = 170
3.기술통계
답: s = 20.22
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
표준화하기
z = −1.5
표준정규분포표
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 1 − 0.06681 = 0.9332
답
P = 0.9332
5.신뢰구간
답: E₂ = 7.387
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
오차 한계의 비
E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(100/100) = 1.191
새 오차 한계
E₂ = 6.2·1.191 = 7.387
답
E₂ = 7.387
6.신뢰구간
답: 하한 = −14.9 kg
차의 구간: 추정값 ± 임곗값 × 표준 오차. σ를 아는 독립 두 평균: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂)와 z. 미지의 분산이 같으면: 합동 s_p와 자유도 n₁ + n₂ − 2의 t. 대응 자료는 차이로 계산합니다: d̄ ± t·s_d/√n.
합동 표준 편차
sp² = (4·8² + 8·3.5²)/12 = 29.5
sp = 5.431
오차 한계
E = 1.782·5.431·√(1/5 + 1/9) = 5.399
구간
−9.5 ± 5.399 → [−14.9, −4.101]
답
하한 = −14.9 kg
7.가설 검정과 신뢰구간
답: t = −2.6
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.
표준오차
SE = 12/√16 = 12/4 = 3
검정통계량
t = (92.2 − 100)/3 = −2.6
답
t = −2.6
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| > 2.131이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.
8.가설 검정과 신뢰구간
답: L = 494.9
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.