투자론과 가치 평가: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치
FV = PV·(1 + i)n
현재 가치
PV = FV/(1 + i)n
연간 여러 기간
i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
연금의 미래 가치
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

방법

  1. 모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
  2. 이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
  3. 단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
  4. 답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
반기 지급
C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률
C/P
가격과 수익률
수익률 상승 → 가격 하락

방법

  1. 기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
  2. 가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
  3. 반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
  4. 확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
기업 가치
V = E + D

NPV와 IRR

순현재가치
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
균등 현금 흐름
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
내부수익률
NPV = 0이 되는 r
의사 결정
NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

  1. 모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
  2. 각 현금흐름을 할인하세요: CFt/(1 + r)t.
  3. 모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
  4. IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통
년012345€3 000FV = ?

명목 연이율 6%, 분기 복리로 €3 000을 투자합니다. 5년 후 투자 가치 FV를 구하세요.

PV = €3 0006% / 4n = 5
FV = €
2.화폐의 시간 가치어려움
개월0123…36€12 000A?AAA

€12 000의 대출을 3년 동안 매달 같은 금액으로 상환합니다. 이율은 연 3%, 월 복리입니다. 월 상환액 A를 구하세요.

P = €12 0003% / 12N = 36
A = €
3.채권 가격과 수익률보통
반기0123…14€30€30€30 + €1 000P = ?

액면가 €1 000인 채권이 연 6%의 이자를 반년마다 두 번에 나누어 지급하며 7년 후 만기입니다. 만기 수익률은 연 7%입니다. 채권 가격 P을(를) 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 6%YTM = 7%n = 7
P = €
4.채권 가격과 수익률어려움

채권이 만기 수익률 6%(연 복리), 매콜리 듀레이션 11.5년으로 €985에 거래된다. 수익률이 25bp 오를 때의 새 가격 P을(를) 수정 듀레이션으로 추정하시오.

P0 = €985y = 6%D = 11.5Δy = +25 bp
P = €
5.CAPM과 WACC보통
WACC = ?보통주€8 000 000re​ = 10%우선주€2 000 000rp​ = 7.5%부채€3 000 000rd​ = 4%T = 30%

한 회사는 €8 000 000 상당의 보통주, €2 000 000 상당의 우선주, €3 000 000 상당의 부채로 자금을 조달한다. 자기자본 비용은 10%, 우선주 비용은 7.5%, 세전 부채 비용은 4%이다. 세율은 30%이다. WACC를 구하시오.

E = €8 000 000Ps = €2 000 000D = €3 000 000re = 10%rp = 7.5%rd = 4%T = 30%
WACC = %
6.CAPM과 WACC어려움
rf​ = 1%, rm​ − rf​ = 5.5%부채 없음자기자본βU​ = 0.7D/E = 0.25자기자본re​ = ?부채T = 25%

한 회사 사업의 무부채(자산) 베타는 0.7이다. 회사는 부채비율 D/E를 0.25(으)로 계획한다. 세율은 25%, 무위험 이자율은 1%, 시장 위험 프리미엄은 5.5%이다. 새 자본 구조에서의 자기자본 비용 re을(를) 구하시오.

βU = 0.7D/E = 0.25T = 25%rf = 1%rm − rf = 5.5%
re = %
7.NPV와 IRR보통
년0123−20 0008 0004 0007 000

€20 000을 투자하면 1년 차부터 3년 차 말까지 다음 현금흐름이 생깁니다: €8 000, €4 000, €7 000. 자본 비용은 9%입니다. 순현재가치 NPV를 구하세요.

r = 9%CF0 = −20 000CF1 = 8 000CF2 = 4 000CF3 = 7 000
NPV = €
8.NPV와 IRR어려움
년0123−25 00017 00016 50011 000

어떤 프로젝트는 €25 000이 들고 1년 차부터 3년 차 말까지 €17 000, €16 500, €11 000을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF0 = −25 000CF1 = 17 000CF2 = 16 500CF3 = 11 000
IRR = %

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: FV = 4041 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)n으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

이율과 기간 수

i = r/m = 0.06/4 = 0.015
N = m·n = 4·5 = 20

미래 가치

FV = 3 000·(1 + 0.015)20 = 3 000·1.347 = €4 040.57

답

FV = €4 040.57
2.화폐의 시간 가치

답: A = 349 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)n으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

월 이율과 상환 횟수

i = 0.03/12 = 0.0025
N = 12·3 = 36

상환액

같은 금액 A를 N번 지급하는 것의 현재 가치는 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i입니다. 이를 대출금과 같게 놓고 A를 구합니다.

(1 + i)−N = 0.914
A = 12 000·0.0025/(1 − 0.914) = €348.97

답

A = €348.97
3.채권 가격과 수익률

답: P = 945.4 €

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

기간당

C = €30.00, i = 0.035, N = 14

이자의 현재 가치

€30.00·(1 − 0.6178)/0.035 = €327.62

액면가의 현재 가치

€1 000·0.6178 = €617.78

가격

P = €945.40

답

P = €945.40

수익률이 표면이자율보다 높으므로 채권은 할인 발행(액면가 미만)됩니다.

4.채권 가격과 수익률

답: P = 958.3 €

듀레이션: 매콜리 듀레이션은 채권이 현금흐름을 지급하는 시점의 가중 평균 시간이며, 가중치는 현금흐름의 현재 가치입니다: D = Σ t·PVₜ/P. 수정 듀레이션 D/(1 + y)는 수익률의 작은 변화에 대한 가격 변화율을 추정합니다: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.

수정 듀레이션

Dmod = 11.5/1.06 = 10.85

추정 가격 변화

%ΔP ≈ −10.85·(0.0025) = −2.712%
P ≈ 985·(1 − 0.02712) = €958.28

답

P = €958.28

듀레이션은 선형 추정입니다. 수익률 변화가 크면 볼록성 때문에 실제 가격이 조금 더 높습니다.

5.CAPM과 WACC

답: WACC = 7.954 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: re = rf + β·(rm − rf). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

가중치

V = 8 000 000 + 2 000 000 + 3 000 000 = €13 000 000
E/V = 0.6154, Ps/V = 0.1538, D/V = 0.2308

WACC

WACC = 0.6154·10% + 0.1538·7.5% + 0.2308·4%·(1 − 0.3) = 7.954%

답

WACC = 7.954%
6.CAPM과 WACC

답: re = 5.572 %

레버리지 베타(하마다): 부채는 자기자본의 위험을 키웁니다. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)이며, βU는 부채가 없는 사업의 베타입니다. 베타를 다른 자본 구조로 옮기려면 먼저 언레버한 다음 새 D/E로 다시 레버하세요.

레버리지 베타

βL = 0.7·(1 + 0.75·0.25) = 0.8312

자기자본 비용 (CAPM)

re = 1% + 0.8312·5.5% = 5.572%

답

re = 5.572%
7.NPV와 IRR

답: NPV = −3889 €

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

각 현금흐름의 현재 가치

CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.09)1 = 8 000/1.09 = 7 339.45
CF2/(1 + 0.09)2 = 4 000/1.188 = 3 366.72
CF3/(1 + 0.09)3 = 7 000/1.295 = 5 405.28

더하기

NPV = €−3 888.55

답

NPV = €−3 888.55

NPV가 음수이므로 이 프로젝트는 요구 수익률보다 적게 법니다.

8.NPV와 IRR

답: IRR = 38.55 %

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(35%) = 1 116.95
NPV(40%) = −430.03

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 35 + 5·1 116.95/(1 116.95 − (−430.03)) = 38.61%
정확한 값: NPV(38.55%) = 0 → IRR = 38.55%

답

IRR = 38.55%

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