투자론과 가치 평가: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치
FV = PV·(1 + i)n
현재 가치
PV = FV/(1 + i)n
연간 여러 기간
i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
연금의 미래 가치
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

방법

  1. 모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
  2. 이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
  3. 단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
  4. 답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
반기 지급
C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률
C/P
가격과 수익률
수익률 상승 → 가격 하락

방법

  1. 기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
  2. 가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
  3. 반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
  4. 확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
기업 가치
V = E + D

NPV와 IRR

순현재가치
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
균등 현금 흐름
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
내부수익률
NPV = 0이 되는 r
의사 결정
NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

  1. 모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
  2. 각 현금흐름을 할인하세요: CFt/(1 + r)t.
  3. 모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
  4. IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통
년01234€2 000FV = ?

명목 연이율 3%, 분기 복리로 €2 000을 투자합니다. 4년 후 투자 가치 FV를 구하세요.

PV = €2 0003% / 4n = 4
FV = €
2.화폐의 시간 가치어려움
개월0123…N = ?€20 000€275€275€275€2753.6% / 12

€20 000을(를) 연 3.6%, 월 복리로 빌리고 매월 말 €275을(를) 상환한다. 대출을 다 갚는 데 몇 개월이 걸리는가(마지막 상환액은 더 적을 수 있음)? 상환 횟수 N을(를) 구하시오.

P = €20 000A = €2753.6% / 12
N = 회 상환
3.채권 가격과 수익률보통
반기0123…16€15€15€15 + €1 000P = ?

액면가 €1 000인 채권이 연 3%의 이자를 반년마다 두 번에 나누어 지급하며 8년 후 만기입니다. 만기 수익률은 연 8%입니다. 채권 가격 P을(를) 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 3%YTM = 8%n = 8
P = €
4.채권 가격과 수익률어려움
년01234€1 050€80€80 + €1 000

액면가 €1 000, 연 이자율 8%인 채권이 4년 후 만기이며 €1 050에 거래됩니다. 만기 수익률 YTM을(를) 퍼센트로 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 8%n = 4P = €1 050
YTM = %
5.CAPM과 WACC보통
βr (%)SMLrf​ = 3%β = 1rm​ = ?β = 0.8re​ = 7.4%

베타가 0.8인 주식의 요구 수익률은 7.4%이다. 무위험 이자율은 3%이다. CAPM이 암시하는 기대 시장 수익률 rm은(는) 얼마인가?

β = 0.8re = 7.4%rf = 3%
rm = %
6.CAPM과 WACC어려움
rf​ = 2.5%, rm​ − rf​ = 5.5%부채 없음자기자본βU​ = 0.7D/E = 0.75자기자본re​ = ?부채T = 30%

한 회사 사업의 무부채(자산) 베타는 0.7이다. 회사는 부채비율 D/E를 0.75(으)로 계획한다. 세율은 30%, 무위험 이자율은 2.5%, 시장 위험 프리미엄은 5.5%이다. 새 자본 구조에서의 자기자본 비용 re을(를) 구하시오.

βU = 0.7D/E = 0.75T = 30%rf = 2.5%rm − rf = 5.5%
re = %
7.NPV와 IRR보통
년01234−20 0005 0008 0007 0006 000

€20 000을 투자하면 1년 차부터 4년 차 말까지 다음 현금흐름이 생깁니다: €5 000, €8 000, €7 000, €6 000. 자본 비용은 12%입니다. 순현재가치 NPV를 구하세요.

r = 12%CF0 = −20 000CF1 = 5 000CF2 = 8 000CF3 = 7 000CF4 = 6 000
NPV = €
8.NPV와 IRR어려움
년012−40 00018 50028 500

어떤 프로젝트는 €40 000이 들고 1년 차부터 2년 차 말까지 €18 500, €28 500을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF0 = −40 000CF1 = 18 500CF2 = 28 500
IRR = %

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: FV = 2254 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)n으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

이율과 기간 수

i = r/m = 0.03/4 = 0.0075
N = m·n = 4·4 = 16

미래 가치

FV = 2 000·(1 + 0.0075)16 = 2 000·1.127 = €2 253.98

답

FV = €2 253.98
2.화폐의 시간 가치

답: N = 83 회 상환

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)n으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

연금 공식 정리

i = 0.003
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0.003/275 = 0.7818

로그로 풀기

N = −ln(0.7818)/ln(1.003) = 82.17

정수 횟수로 올림

전액 상환 82회 후 작은 잔액이 남고, 마지막의 더 적은 상환으로 이를 갚습니다.

N = 83

답

N = 83 회 상환
3.채권 가격과 수익률

답: P = 708.7 €

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

기간당

C = €15.00, i = 0.04, N = 16

이자의 현재 가치

€15.00·(1 − 0.5339)/0.04 = €174.78

액면가의 현재 가치

€1 000·0.5339 = €533.91

가격

P = €708.69

답

P = €708.69

수익률이 표면이자율보다 높으므로 채권은 할인 발행(액면가 미만)됩니다.

4.채권 가격과 수익률

답: YTM = 6.539 %

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

수익률 방정식

€1 050 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

수치적으로 풀기

P(6%) = €1 069.30, P(7%) = €1 033.87
YTM = 6.539%

답

YTM = 6.539%
5.CAPM과 WACC

답: rm = 8.5 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: re = rf + β·(rm − rf). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

시장 위험 프리미엄

rm − rf = (7.4% − 3%)/0.8 = 5.5%

시장 수익률

rm = 3% + 5.5% = 8.5%

답

rm = 8.5%
6.CAPM과 WACC

답: re = 8.371 %

레버리지 베타(하마다): 부채는 자기자본의 위험을 키웁니다. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)이며, βU는 부채가 없는 사업의 베타입니다. 베타를 다른 자본 구조로 옮기려면 먼저 언레버한 다음 새 D/E로 다시 레버하세요.

레버리지 베타

βL = 0.7·(1 + 0.7·0.75) = 1.067

자기자본 비용 (CAPM)

re = 2.5% + 1.067·5.5% = 8.371%

답

re = 8.371%
7.NPV와 IRR

답: NPV = −362.6 €

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

각 현금흐름의 현재 가치

CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.12)1 = 5 000/1.12 = 4 464.29
CF2/(1 + 0.12)2 = 8 000/1.254 = 6 377.55
CF3/(1 + 0.12)3 = 7 000/1.405 = 4 982.46
CF4/(1 + 0.12)4 = 6 000/1.574 = 3 813.11

더하기

NPV = €−362.59

답

NPV = €−362.59

NPV가 음수이므로 이 프로젝트는 요구 수익률보다 적게 법니다.

8.NPV와 IRR

답: IRR = 10.65 %

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(10%) = 371.90
NPV(15%) = −2 362.95

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 10 + 5·371.90/(371.90 − (−2 362.95)) = 10.68%
정확한 값: NPV(10.65%) = 0 → IRR = 10.65%

답

IRR = 10.65%

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