투자론과 가치 평가: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
반기 지급: C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률: C/P
가격과 수익률: 수익률 상승 → 가격 하락

방법

기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
기업 가치: V = E + D

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통

10년 후 €10 000이 필요합니다. 계좌 이율은 연 6%, 분기 복리입니다. 오늘 얼마를 예금해야 할까요? 현재 가치 PV를 구하세요.

FV = €10 0006% / 4n = 10

PV = €

2.화폐의 시간 가치어려움

€10 000을(를) 연 4.8%, 월 복리로 빌리고 매월 말 €250을(를) 상환한다. 대출을 다 갚는 데 몇 개월이 걸리는가(마지막 상환액은 더 적을 수 있음)? 상환 횟수 N을(를) 구하시오.

P = €10 000A = €2504.8% / 12

N = 회 상환

3.채권 가격과 수익률보통

액면가 €1 000인 채권이 연 4.5%의 이자를 반년마다 두 번에 나누어 지급하며 6년 후 만기입니다. 만기 수익률은 연 7%입니다. 채권 가격 P을(를) 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 4.5%YTM = 7%n = 6

P = €

4.채권 가격과 수익률어려움

액면가 €1 000인 채권이 연 3%의 이표를 지급하며 6년 후 만기이다. 만기 수익률은 3.5%이다. 매콜리 듀레이션 D을(를) 연 단위로 구하시오.

F = €1 000표면이자율 = 3%n = 6YTM = 3.5%

D = 년

5.CAPM과 WACC보통

한 회사의 자기자본은 €8 000 000, 부채는 €2 000 000이다. WACC는 8.43%, 세전 부채 비용은 3%, 세율은 28%이다. 자기자본 비용 r_e을(를) 구하시오.

E = €8 000 000D = €2 000 000WACC = 8.43%r_d = 3%T = 28%

r_e = %

6.CAPM과 WACC어려움

어떤 회사가 주당 €16.50인 주식 1 000 000주와 개당 €1 050에 거래되는 채권 10 000개을(를) 가지고 있습니다. 세전 부채 비용은 6%, 세율은 25%입니다. 주식의 베타는 1.5, 무위험 이자율은 1%, 시장 수익률은 6%입니다. WACC를 구하세요.

β = 1.5r_f = 1%r_m = 6%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

7.NPV와 IRR보통

한 기계는 오늘 €80 000이(가) 들고, 6년 동안 쓸 수 있으며, 매년 €1 000의 운영비(매년 말 지급)가 든다. 자본 비용은 8%이다. 연간 등가 비용 EAC을(를) 구하시오.

C₀ = €80 000M = €1 000n = 6r = 8%

EAC = €

8.NPV와 IRR어려움

어떤 프로젝트는 €20 000이 들고 1년 차부터 3년 차 말까지 €9 500, €7 000, €8 000을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF₀ = −20 000CF₁ = 9 500CF₂ = 7 000CF₃ = 8 000

IRR = %

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: PV = 5513 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

이율과 기간 수

i = 0.06/4 = 0.015

N = 4·10 = 40

현재 가치

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1.814 = €5 512.62

답

PV = €5 512.62

2.화폐의 시간 가치

답: N = 44 회 상환

연금 공식 정리

i = 0.004

(1 + i)^−N = 1 − 10 000·0.004/250 = 0.84

로그로 풀기

N = −ln(0.84)/ln(1.004) = 43.68

정수 횟수로 올림

전액 상환 43회 후 작은 잔액이 남고, 마지막의 더 적은 상환으로 이를 갚습니다.

N = 44

답

N = 44 회 상환

3.채권 가격과 수익률

답: P = 879.2 €

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

기간당

C = €22.50, i = 0.035, N = 12

이자의 현재 가치

€22.50·(1 − 0.6618)/0.035 = €217.43

액면가의 현재 가치

€1 000·0.6618 = €661.78

가격

P = €879.21

답

P = €879.21

수익률이 표면이자율보다 높으므로 채권은 할인 발행(액면가 미만)됩니다.

4.채권 가격과 수익률

답: D = 5.573 년

듀레이션: 매콜리 듀레이션은 채권이 현금흐름을 지급하는 시점의 가중 평균 시간이며, 가중치는 현금흐름의 현재 가치입니다: D = Σ t·PVₜ/P. 수정 듀레이션 D/(1 + y)는 수익률의 작은 변화에 대한 가격 변화율을 추정합니다: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

각 현금흐름의 현재 가치

t = 1: 30/1.035 = 28.99, t·PV = 28.99

t = 2: 30/1.071 = 28.01, t·PV = 56.01

t = 3: 30/1.109 = 27.06, t·PV = 81.17

t = 4: 30/1.148 = 26.14, t·PV = 104.57

t = 5: 30/1.188 = 25.26, t·PV = 126.30

t = 6: 1030/1.229 = 837.91, t·PV = 5 027.43

듀레이션

P = 973.36

D = 5 424.47/973.36 = 5.573

답

D = 5.573 년

5.CAPM과 WACC

답: r_e = 9.997 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

가중치

V = €10 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2

WACC의 부채 부분

0.2·3%·(1 − 0.28) = 0.432%

자기자본 비용

r_e = (8.43% − 0.432%)/0.8 = 9.997%

답

r_e = 9.997%

6.CAPM과 WACC

답: WACC = 6.944 %

시장가치

E = 1 000 000·€16.50 = €16 500 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

자기자본 비용 (CAPM)

r_e = 1% + 1.5·5% = 8.5%

가중치

V = €27 000 000, E/V = 0.6111, D/V = 0.3889

WACC

WACC = 0.6111·8.5% + 0.3889·6%·(1 − 0.25) = 6.944%

답

WACC = 6.944%

7.NPV와 IRR

답: EAC = 18305 €

연간 등가 비용: 모든 비용의 현재 가치를 수명 동안의 같은 연간 금액(연금)으로 나눕니다: EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). 수명이 다른 기계를 비교할 수 있습니다.

연금 현가 계수

(1 − 1.08⁻⁶)/0.08 = 4.623

연간화한 구입 가격

80 000/4.623 = 17 305.23

EAC

EAC = 17 305.23 + 1 000 = €18 305.23

답

EAC = €18 305.23

8.NPV와 IRR

답: IRR = 11.27 %

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(10%) = 432.01

NPV(15%) = −1 185.99

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 10 + 5·432.01/(432.01 − (−1 185.99)) = 11.33%

정확한 값: NPV(11.27%) = 0 → IRR = 11.27%

답

IRR = 11.27%

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