투자론과 가치 평가: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
반기 지급: C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률: C/P
가격과 수익률: 수익률 상승 → 가격 하락

방법

기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
기업 가치: V = E + D

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통

한 부동산은 내년에 순임대료 €5 000을(를) 벌 것으로 예상된다. 임대료는 매년 4%씩 영구히 증가할 것으로 예상된다. 요구 수익률은 연 6%이다. 이 부동산의 오늘 가치 PV을(를) 구하시오.

C₁ = €5 000g = 4%r = 6%

PV = €

2.화폐의 시간 가치어려움

€250 000의 주택 담보 대출을 연 4.2%, 월 복리로 25년 동안 매월 같은 금액으로 상환한다. 10년 차 말의 상환 직후 남은 금액은 얼마인가? 대출 잔액 B을(를) 구하시오.

P = €250 0004.2% / 12N = 300k = 120

B = €

3.채권 가격과 수익률보통

액면가 €1 000인 채권이 14년 후 만기이며 연 이표를 지급한다. 만기 수익률이 5.5%일 때 €1 048에 팔린다. 이표율 c을(를) 퍼센트로 구하시오.

F = €1 000n = 14P = €1 048YTM = 5.5%

c = %

4.채권 가격과 수익률어려움

채권이 만기 수익률 3%(연 복리), 매콜리 듀레이션 5.9년으로 €1 080에 거래된다. 수익률이 100bp 오를 때의 새 가격 P을(를) 수정 듀레이션으로 추정하시오.

P₀ = €1 080y = 3%D = 5.9Δy = +100 bp

P = €

5.CAPM과 WACC보통

어떤 회사가 €12 000 000의 자기자본과 €4 000 000의 부채을(를) 가지고 있습니다. 자기자본 비용은 10%, 세전 부채 비용은 4.5%, 세율은 21%입니다. WACC를 구하세요.

E = €12 000 000D = €4 000 000r_e = 10%r_d = 4.5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM과 WACC어려움

어떤 회사가 주당 €42.00인 주식 4 000 000주와 개당 €1 050에 거래되는 채권 10 000개을(를) 가지고 있습니다. 세전 부채 비용은 5%, 세율은 20%입니다. 주식의 베타는 1.1, 무위험 이자율은 2.5%, 시장 수익률은 8%입니다. WACC를 구하세요.

β = 1.1r_f = 2.5%r_m = 8%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

7.NPV와 IRR보통

한 프로젝트는 오늘 €50 000이(가) 들고 1년 차부터 6년 차까지 매년 말 €19 000, €12 000, €18 500, €15 000, €22 000, €20 500을(를) 돌려준다. 자본 비용은 8%이다. 현금흐름은 각 연도 동안 균등하게 들어온다고 가정한다. 할인 회수 기간 DPB을(를) 연 단위로 구하시오.

r = 8%CF₀ = −50 000CF₁ = 19 000CF₂ = 12 000CF₃ = 18 500CF₄ = 15 000CF₅ = 22 000CF₆ = 20 500

DPB = 년

8.NPV와 IRR어려움

어떤 프로젝트는 €40 000이 들고 1년 차부터 3년 차 말까지 €15 000, €18 000, €18 000을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF₀ = −40 000CF₁ = 15 000CF₂ = 18 000CF₃ = 18 000

IRR = %

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: PV = 250000 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

성장형 영구 연금

PV = C₁/(r − g) = 5 000/(0.06 − 0.04) = 5 000/0.02 = €250 000.00

답

PV = €250 000.00

2.화폐의 시간 가치

답: B = 179707 €

월 상환액

i = 0.0035, N = 300

A = 250 000·0.0035/(1 − (1 + 0.0035)⁻³⁰⁰) = €1 347.36

남은 상환액의 현재 가치

아직 남은 부채는 남은 상환액으로 정확히 갚아야 합니다.

N − k = 300 − 120 = 180

B = 1347·(1 − (1 + 0.0035)⁻¹⁸⁰)/0.0035 = €179 707.26

답

B = €179 707.26

3.채권 가격과 수익률

답: c = 6.001 %

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

액면가의 현재 가치

1000·(1 + 0.055)⁻¹⁴ = €472.57

이표

C = (1048 − 472.57)/9.59 = €60.01

표면 이자율

c = 60.01/1000 = 6.001%

답

c = 6.001%

4.채권 가격과 수익률

답: P = 1018 €

듀레이션: 매콜리 듀레이션은 채권이 현금흐름을 지급하는 시점의 가중 평균 시간이며, 가중치는 현금흐름의 현재 가치입니다: D = Σ t·PVₜ/P. 수정 듀레이션 D/(1 + y)는 수익률의 작은 변화에 대한 가격 변화율을 추정합니다: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

수정 듀레이션

D_mod = 5.9/1.03 = 5.728

추정 가격 변화

%ΔP ≈ −5.728·(0.01) = −5.728%

P ≈ 1080·(1 − 0.05728) = €1 018.14

답

P = €1 018.14

듀레이션은 선형 추정입니다. 수익률 변화가 크면 볼록성 때문에 실제 가격이 조금 더 높습니다.

5.CAPM과 WACC

답: WACC = 8.389 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

가중치

V = €16 000 000, E/V = 0.75, D/V = 0.25

WACC

WACC = 0.75·10% + 0.25·4.5%·(1 − 0.21) = 8.389%

답

WACC = 8.389%

6.CAPM과 WACC

답: WACC = 8.282 %

시장가치

E = 4 000 000·€42.00 = €168 000 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

자기자본 비용 (CAPM)

r_e = 2.5% + 1.1·5.5% = 8.55%

가중치

V = €178 500 000, E/V = 0.9412, D/V = 0.05882

WACC

WACC = 0.9412·8.55% + 0.05882·5%·(1 − 0.2) = 8.282%

답

WACC = 8.282%

7.NPV와 IRR

답: DPB = 3.674 년

회수 기간: 누적 현금흐름이 초기 투자액을 회수할 때까지의 시간입니다. 현금은 각 연도 동안 균등하게 들어온다고 가정하므로 마지막 부분은 1년의 일부가 됩니다. 단순 회수 기간은 화폐의 시간 가치를 무시하며, 할인 회수 기간은 대신 할인된 현금흐름을 씁니다.

할인 현금흐름과 누적 현금흐름

연도 1: 19 000/1.08 = 17 592.59 → Σ = 17 592.59

연도 2: 12 000/1.166 = 10 288.07 → Σ = 27 880.66

연도 3: 18 500/1.26 = 14 685.90 → Σ = 42 566.55

연도 4: 15 000/1.36 = 11 025.45 → Σ = 53 592.00

마지막 해의 분율

DPB = 3 + 7 433.45/11 025.45 = 3.674

답

DPB = 3.674 년

할인 회수 기간은 항상 단순 회수 기간(3.033년)보다 깁니다.

8.NPV와 IRR

답: IRR = 12.78 %

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(10%) = 2 036.06

NPV(15%) = −1 510.64

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 10 + 5·2 036.06/(2 036.06 − (−1 510.64)) = 12.87%

정확한 값: NPV(12.78%) = 0 → IRR = 12.78%

답

IRR = 12.78%

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