투자론과 가치 평가: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
반기 지급: C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률: C/P
가격과 수익률: 수익률 상승 → 가격 하락

방법

기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
기업 가치: V = E + D

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통

연금이 10년 동안 매년 말 €5 000을(를) 지급한다. 이자율은 연 3%이다. 연금의 현재 가치 PV을(를) 구하시오.

A = €5 000i = 3%n = 10

PV = €

2.화폐의 시간 가치어려움

18년 동안 매달 말에 €100을 저축합니다. 계좌 이율은 연 4.2%, 월 복리입니다. 마지막에 얼마가 모일까요? FV를 구하세요.

A = €1004.2% / 12N = 216

FV = €

3.채권 가격과 수익률보통

액면가 €1 000인 채권이 연 2%의 이자를 반년마다 두 번에 나누어 지급하며 5년 후 만기입니다. 만기 수익률은 연 6%입니다. 채권 가격 P을(를) 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 2%YTM = 6%n = 5

P = €

4.채권 가격과 수익률어려움

채권이 만기 수익률 3%(연 복리), 매콜리 듀레이션 10.2년으로 €1 015에 거래된다. 수익률이 25bp 내릴 때의 새 가격 P을(를) 수정 듀레이션으로 추정하시오.

P₀ = €1 015y = 3%D = 10.2Δy = −25 bp

P = €

5.CAPM과 WACC보통

한 회사는 €5 000 000 상당의 보통주, €1 000 000 상당의 우선주, €6 000 000 상당의 부채로 자금을 조달한다. 자기자본 비용은 10%, 우선주 비용은 7.5%, 세전 부채 비용은 5%이다. 세율은 25%이다. WACC를 구하시오.

E = €5 000 000P_s = €1 000 000D = €6 000 000r_e = 10%r_p = 7.5%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM과 WACC어려움

어떤 회사가 주당 €27.50인 주식 4 000 000주와 개당 €1 020에 거래되는 채권 40 000개을(를) 가지고 있습니다. 세전 부채 비용은 4%, 세율은 25%입니다. 주식의 베타는 1.3, 무위험 이자율은 2.5%, 시장 수익률은 8%입니다. WACC를 구하세요.

β = 1.3r_f = 2.5%r_m = 8%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

7.NPV와 IRR보통

한 프로젝트는 오늘 €250 000이(가) 든다. 첫해 말 €30 000을(를) 창출하고, 이후 현금흐름은 매년 1%씩 영구히 증가한다. 자본 비용은 11%이다. 순현재가치 NPV을(를) 구하시오.

C₀ = €250 000CF₁ = €30 000g = 1%r = 11%

NPV = €

8.NPV와 IRR어려움

프로젝트 A는 €20 000이(가) 들고 1~3년 차 말에 €10 500, €8 000, €5 000을(를) 돌려준다. 프로젝트 B는 €22 000이(가) 들고 €6 000, €8 500, €12 000을(를) 돌려준다. 두 프로젝트의 NPV가 같아지는 교차 수익률 r*을(를) 퍼센트로 구하시오.

A: −20 000, 10 500, 8 000, 5 000B: −22 000, 6 000, 8 500, 12 000

r* = %

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: PV = 42651 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

연금 현가 계수

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.7441)/0.03 = 8.53

현재 가치

PV = 5 000·8.53 = €42 651.01

답

PV = €42 651.01

2.화폐의 시간 가치

답: FV = 32198 €

월 이율과 적립 횟수

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·18 = 216

적립금의 미래 가치

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(2.127 − 1)/0.0035 = €32 198.03

답

FV = €32 198.03

직접 넣은 돈은 €21 600이고 나머지는 이자입니다.

3.채권 가격과 수익률

답: P = 829.4 €

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

기간당

C = €10.00, i = 0.03, N = 10

이자의 현재 가치

€10.00·(1 − 0.7441)/0.03 = €85.30

액면가의 현재 가치

€1 000·0.7441 = €744.09

가격

P = €829.40

답

P = €829.40

수익률이 표면이자율보다 높으므로 채권은 할인 발행(액면가 미만)됩니다.

4.채권 가격과 수익률

답: P = 1040 €

듀레이션: 매콜리 듀레이션은 채권이 현금흐름을 지급하는 시점의 가중 평균 시간이며, 가중치는 현금흐름의 현재 가치입니다: D = Σ t·PVₜ/P. 수정 듀레이션 D/(1 + y)는 수익률의 작은 변화에 대한 가격 변화율을 추정합니다: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

수정 듀레이션

D_mod = 10.2/1.03 = 9.903

추정 가격 변화

%ΔP ≈ −9.903·(−0.0025) = 2.476%

P ≈ 1015·(1 + 0.02476) = €1 040.13

답

P = €1 040.13

듀레이션은 선형 추정입니다. 수익률 변화가 크면 볼록성 때문에 실제 가격이 조금 더 높습니다.

5.CAPM과 WACC

답: WACC = 6.667 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

가중치

V = 5 000 000 + 1 000 000 + 6 000 000 = €12 000 000

E/V = 0.4167, P_s/V = 0.08333, D/V = 0.5

WACC

WACC = 0.4167·10% + 0.08333·7.5% + 0.5·5%·(1 − 0.25) = 6.667%

답

WACC = 6.667%

6.CAPM과 WACC

답: WACC = 7.851 %

시장가치

E = 4 000 000·€27.50 = €110 000 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

자기자본 비용 (CAPM)

r_e = 2.5% + 1.3·5.5% = 9.65%

가중치

V = €150 800 000, E/V = 0.7294, D/V = 0.2706

WACC

WACC = 0.7294·9.65% + 0.2706·4%·(1 − 0.25) = 7.851%

답

WACC = 7.851%

7.NPV와 IRR

답: NPV = 50000 €

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

현금흐름의 가치

PV = 30 000/(0.11 − 0.01) = 300 000.00

NPV

NPV = 300 000.00 − 250 000 = €50 000.00

답

NPV = €50 000.00

NPV가 양수이므로 이 프로젝트는 요구 수익률보다 많이 법니다.

8.NPV와 IRR

답: r* = 6.579 %

교차 수익률: 두 프로젝트의 NPV가 같아지는 할인율입니다. 이는 두 현금흐름의 차이(B − A)의 IRR입니다. 그보다 낮으면 현금흐름이 늦고 큰 프로젝트의 NPV가 더 크고, 그보다 높으면 다른 프로젝트가 낫습니다.

현금흐름의 차이

ΔCF₀ = −22 000 − (−20 000) = −2 000

ΔCF₁ = 6 000 − 10 500 = −4 500

ΔCF₂ = 8 500 − 8 000 = 500

ΔCF₃ = 12 000 − 5 000 = 7 000

차이의 IRR

NPV_Δ(6%) = 77.05

NPV_Δ(7%) = −54.80

r* = 6.579%

답

r* = 6.579%

검산: 6.579%에서 두 NPV는 모두 €1 024.66입니다.

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