투자론과 가치 평가: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치
FV = PV·(1 + i)n
현재 가치
PV = FV/(1 + i)n
연간 여러 기간
i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
연금의 미래 가치
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

방법

  1. 모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
  2. 이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
  3. 단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
  4. 답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
반기 지급
C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률
C/P
가격과 수익률
수익률 상승 → 가격 하락

방법

  1. 기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
  2. 가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
  3. 반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
  4. 확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
기업 가치
V = E + D

NPV와 IRR

순현재가치
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
균등 현금 흐름
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
내부수익률
NPV = 0이 되는 r
의사 결정
NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

  1. 모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
  2. 각 현금흐름을 할인하세요: CFt/(1 + r)t.
  3. 모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
  4. IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통
기간0123…36511 + EAR = ?18% / 365

신용카드의 명목 이자율은 연 18%, 매일 복리이다. 실효 연이율 EAR을(를) 퍼센트로 구하시오.

r = 18%m = 365
EAR = %
2.화폐의 시간 가치어려움
개월0123…N = ?€10 000€125€125€125€1252.4% / 12

€10 000을(를) 연 2.4%, 월 복리로 빌리고 매월 말 €125을(를) 상환한다. 대출을 다 갚는 데 몇 개월이 걸리는가(마지막 상환액은 더 적을 수 있음)? 상환 횟수 N을(를) 구하시오.

P = €10 000A = €1252.4% / 12
N = 회 상환
3.채권 가격과 수익률보통

만기까지 6년 남은 채권(액면가 €1 000, 연 이표 3%)을 만기 수익률이 8%일 때 산다. 1년 후 첫 이표를 받은 직후 만기 수익률이 7.5%일 때 판다. 보유 기간 수익률 HPR을(를) 퍼센트로 구하시오.

F = €1 000표면이자율 = 3%n = 6y0 = 8%y1 = 7.5%
HPR = %
4.채권 가격과 수익률어려움
년01234€1 192€90€90€90 + €1 090

만기까지 11년 남은 채권(액면가 €1 000, 연 이표 9%)이 €1 192에 팔린다. 발행자는 4년 후 수의 상환 가격 €1 090에 이 채권을 상환할 수 있다. 수의 상환 수익률 YTC을(를) 퍼센트로 구하시오.

F = €1 000표면이자율 = 9%P = €1 192수의 상환 가격 = €1 090수의 상환까지 4 년
YTC = %
5.CAPM과 WACC보통
WACC = ?자기자본€12 000 000re​ = 10%부채€3 000 000rd​ = 3%T = 20%

어떤 회사가 €12 000 000의 자기자본과 €3 000 000의 부채을(를) 가지고 있습니다. 자기자본 비용은 10%, 세전 부채 비용은 3%, 세율은 20%입니다. WACC를 구하세요.

E = €12 000 000D = €3 000 000re = 10%rd = 3%T = 20%
WACC = %
6.CAPM과 WACC어려움
rf​ = 2%, rm​ − rf​ = 5%부채 없음자기자본βU​ = 1.2D/E = 1자기자본re​ = ?부채T = 30%

한 회사 사업의 무부채(자산) 베타는 1.2이다. 회사는 부채비율 D/E를 1(으)로 계획한다. 세율은 30%, 무위험 이자율은 2%, 시장 위험 프리미엄은 5%이다. 새 자본 구조에서의 자기자본 비용 re을(를) 구하시오.

βU = 1.2D/E = 1T = 30%rf = 2%rm − rf = 5%
re = %
7.NPV와 IRR보통
년01234567€30 000€4 000€4 000€4 000€4 000€4 000€4 000€4 000r = 12%, EAC = ?

한 기계는 오늘 €30 000이(가) 들고, 7년 동안 쓸 수 있으며, 매년 €4 000의 운영비(매년 말 지급)가 든다. 자본 비용은 12%이다. 연간 등가 비용 EAC을(를) 구하시오.

C0 = €30 000M = €4 000n = 7r = 12%
EAC = €
8.NPV와 IRR어려움
년01234−20 0006 5007 5007 5008 500

한 프로젝트는 €20 000이(가) 들고 1년 차부터 4년 차까지 매년 말 €6 500, €7 500, €7 500, €8 500을(를) 돌려준다. 현금흐름은 자본 비용 6%로 재투자할 수 있다. 수정 내부 수익률 MIRR을(를) 퍼센트로 구하시오.

r = 6%CF0 = −20 000CF1 = 6 500CF2 = 7 500CF3 = 7 500CF4 = 8 500
MIRR = %

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: EAR = 19.72 %

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)n으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

기간당 이자율

r/m = 0.18/365 = 0.0004932

1년간 복리 계산

EAR = (1 + 0.0004932)365 − 1 = 1.197 − 1 = 19.72%

답

EAR = 19.72%

이자가 1년에 두 번 이상 복리로 붙으면 EAR은 항상 명목 이자율보다 높습니다.

2.화폐의 시간 가치

답: N = 88 회 상환

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)n으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

연금 공식 정리

i = 0.002
(1 + i)−N = 1 − 10 000·0.002/125 = 0.84

로그로 풀기

N = −ln(0.84)/ln(1.002) = 87.26

정수 횟수로 올림

전액 상환 87회 후 작은 잔액이 남고, 마지막의 더 적은 상환으로 이를 갚습니다.

N = 88

답

N = 88 회 상환
3.채권 가격과 수익률

답: HPR = 10.29 %

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

매입 가격

C = €30.00, i = 0.08, N = 6
€30.00·(1 − 0.6302)/0.08 + €1 000·0.6302 = €138.69 + €630.17 = €768.86

매도 가격

C = €30.00, i = 0.075, N = 5
€30.00·(1 − 0.6966)/0.075 + €1 000·0.6966 = €121.38 + €696.56 = €817.94

보유 기간 수익률

HPR = (30 + 817.94 − 768.86)/768.86 = 10.29%

답

HPR = 10.29%
4.채권 가격과 수익률

답: YTC = 5.582 %

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

수익률 방정식

1192 = 90·(1 − (1 + y)−4)/y + 1090/(1 + y)4

수치적으로 풀기

y = 5%: €1 215.88
y = 6%: €1 175.24
YTC = 5.582%

답

YTC = 5.582%

만기 수익률은 6.503%입니다. 할증 채권의 투자자는 상환될 것으로 예상하므로, 더 낮은 수의 상환 수익률이 더 현실적입니다.

5.CAPM과 WACC

답: WACC = 8.48 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: re = rf + β·(rm − rf). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

가중치

V = €15 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2

WACC

WACC = 0.8·10% + 0.2·3%·(1 − 0.2) = 8.48%

답

WACC = 8.48%
6.CAPM과 WACC

답: re = 12.2 %

레버리지 베타(하마다): 부채는 자기자본의 위험을 키웁니다. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)이며, βU는 부채가 없는 사업의 베타입니다. 베타를 다른 자본 구조로 옮기려면 먼저 언레버한 다음 새 D/E로 다시 레버하세요.

레버리지 베타

βL = 1.2·(1 + 0.7·1) = 2.04

자기자본 비용 (CAPM)

re = 2% + 2.04·5% = 12.2%

답

re = 12.2%
7.NPV와 IRR

답: EAC = 10574 €

연간 등가 비용: 모든 비용의 현재 가치를 수명 동안의 같은 연간 금액(연금)으로 나눕니다: EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). 수명이 다른 기계를 비교할 수 있습니다.

연금 현가 계수

(1 − 1.12−7)/0.12 = 4.564

연간화한 구입 가격

30 000/4.564 = 6 573.53

EAC

EAC = 6 573.53 + 4 000 = €10 573.53

답

EAC = €10 573.53
8.NPV와 IRR

답: MIRR = 13.01 %

수정 IRR: 모든 유입액을 재투자 수익률(보통 자본 비용)로 프로젝트 종료 시점까지 복리 계산해 최종 가치 TV를 구합니다. MIRR은 초기 투자액을 TV로 만드는 수익률입니다: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

유입액의 최종 가치

6 500·1.063 = 7 741.60
7 500·1.062 = 8 427.00
7 500·1.061 = 7 950.00
8 500·1.060 = 8 500.00
TV = 32 618.60

MIRR

MIRR = (32 618.60/20 000)1/4 − 1 = 13.01%

답

MIRR = 13.01%

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