투자론과 가치 평가: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
반기 지급: C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률: C/P
가격과 수익률: 수익률 상승 → 가격 하락

방법

기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
기업 가치: V = E + D

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통

€1 000을(를) 연 8%의 연속 복리로 투자한다. 13년 후의 가치 FV을(를) 구하시오.

PV = €1 000r = 8%t = 13

FV = €

2.화폐의 시간 가치어려움

€15 000의 대출을 6년 동안 매달 같은 금액으로 상환합니다. 이율은 연 3.6%, 월 복리입니다. 월 상환액 A를 구하세요.

P = €15 0003.6% / 12N = 72

A = €

3.채권 가격과 수익률보통

액면가 €1 000인 채권이 연 4.5%의 이자를 반년마다 두 번에 나누어 지급하며 9년 후 만기입니다. 만기 수익률은 연 2.5%입니다. 채권 가격 P을(를) 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 4.5%YTM = 2.5%n = 9

P = €

4.채권 가격과 수익률어려움

액면가 €1 000인 채권이 연 4%의 이표를 지급하며 6년 후 만기이다. 만기 수익률은 3%이다. 매콜리 듀레이션 D을(를) 연 단위로 구하시오.

F = €1 000표면이자율 = 4%n = 6YTM = 3%

D = 년

5.CAPM과 WACC보통

한 회사의 자기자본은 €5 000 000, 부채는 €3 000 000이다. WACC는 6.75%, 세전 부채 비용은 4%, 세율은 25%이다. 자기자본 비용 r_e을(를) 구하시오.

E = €5 000 000D = €3 000 000WACC = 6.75%r_d = 4%T = 25%

r_e = %

6.CAPM과 WACC어려움

어떤 회사가 주당 €12.00인 주식 5 000 000주와 개당 €1 050에 거래되는 채권 10 000개을(를) 가지고 있습니다. 세전 부채 비용은 6%, 세율은 25%입니다. 주식의 베타는 1.5, 무위험 이자율은 2.5%, 시장 수익률은 8.5%입니다. WACC를 구하세요.

β = 1.5r_f = 2.5%r_m = 8.5%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

7.NPV와 IRR보통

한 프로젝트는 오늘 €30 000이(가) 들고 1년 차부터 6년 차까지 매년 말 €10 500, €7 000, €12 000, €11 500, €10 500, €8 000을(를) 돌려준다. 자본 비용은 5%이다. 현금흐름은 각 연도 동안 균등하게 들어온다고 가정한다. 할인 회수 기간 DPB을(를) 연 단위로 구하시오.

r = 5%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 500CF₂ = 7 000CF₃ = 12 000CF₄ = 11 500CF₅ = 10 500CF₆ = 8 000

DPB = 년

8.NPV와 IRR어려움

어떤 프로젝트는 €10 000이 들고 1년 차부터 2년 차 말까지 €7 500, €4 000을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 500CF₂ = 4 000

IRR = %

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: FV = 2829 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

지수

r·t = 0.08·13 = 1.04

e^1.04 = 2.829

미래 가치

FV = 1 000·2.829 = €2 829.22

답

FV = €2 829.22

2.화폐의 시간 가치

답: A = 232 €

월 이율과 상환 횟수

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·6 = 72

상환액

같은 금액 A를 N번 지급하는 것의 현재 가치는 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i입니다. 이를 대출금과 같게 놓고 A를 구합니다.

(1 + i)^−N = 0.806

A = 15 000·0.003/(1 − 0.806) = €231.95

답

A = €231.95

3.채권 가격과 수익률

답: P = 1160 €

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

기간당

C = €22.50, i = 0.0125, N = 18

이자의 현재 가치

€22.50·(1 − 0.7996)/0.0125 = €360.66

액면가의 현재 가치

€1 000·0.7996 = €799.63

가격

P = €1 160.30

답

P = €1 160.30

수익률이 표면이자율보다 낮으므로 채권은 할증 발행(액면가 초과)됩니다.

4.채권 가격과 수익률

답: D = 5.468 년

듀레이션: 매콜리 듀레이션은 채권이 현금흐름을 지급하는 시점의 가중 평균 시간이며, 가중치는 현금흐름의 현재 가치입니다: D = Σ t·PVₜ/P. 수정 듀레이션 D/(1 + y)는 수익률의 작은 변화에 대한 가격 변화율을 추정합니다: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

각 현금흐름의 현재 가치

t = 1: 40/1.03 = 38.83, t·PV = 38.83

t = 2: 40/1.061 = 37.70, t·PV = 75.41

t = 3: 40/1.093 = 36.61, t·PV = 109.82

t = 4: 40/1.126 = 35.54, t·PV = 142.16

t = 5: 40/1.159 = 34.50, t·PV = 172.52

t = 6: 1040/1.194 = 870.98, t·PV = 5 225.90

듀레이션

P = 1 054.17

D = 5 764.64/1 054.17 = 5.468

답

D = 5.468 년

5.CAPM과 WACC

답: r_e = 9 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

가중치

V = €8 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375

WACC의 부채 부분

0.375·4%·(1 − 0.25) = 1.125%

자기자본 비용

r_e = (6.75% − 1.125%)/0.625 = 9%

답

r_e = 9%

6.CAPM과 WACC

답: WACC = 10.46 %

시장가치

E = 5 000 000·€12.00 = €60 000 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

자기자본 비용 (CAPM)

r_e = 2.5% + 1.5·6% = 11.5%

가중치

V = €70 500 000, E/V = 0.8511, D/V = 0.1489

WACC

WACC = 0.8511·11.5% + 0.1489·6%·(1 − 0.25) = 10.46%

답

WACC = 10.46%

7.NPV와 IRR

답: DPB = 3.347 년

회수 기간: 누적 현금흐름이 초기 투자액을 회수할 때까지의 시간입니다. 현금은 각 연도 동안 균등하게 들어온다고 가정하므로 마지막 부분은 1년의 일부가 됩니다. 단순 회수 기간은 화폐의 시간 가치를 무시하며, 할인 회수 기간은 대신 할인된 현금흐름을 씁니다.

할인 현금흐름과 누적 현금흐름

연도 1: 10 500/1.05 = 10 000.00 → Σ = 10 000.00

연도 2: 7 000/1.103 = 6 349.21 → Σ = 16 349.21

연도 3: 12 000/1.158 = 10 366.05 → Σ = 26 715.26

연도 4: 11 500/1.216 = 9 461.08 → Σ = 36 176.34

마지막 해의 분율

DPB = 3 + 3 284.74/9 461.08 = 3.347

답

DPB = 3.347 년

할인 회수 기간은 항상 단순 회수 기간(3.043년)보다 깁니다.

8.NPV와 IRR

답: IRR = 11.03 %

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(10%) = 123.97

NPV(15%) = −453.69

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 10 + 5·123.97/(123.97 − (−453.69)) = 11.07%

정확한 값: NPV(11.03%) = 0 → IRR = 11.03%

답

IRR = 11.03%

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