투자론과 가치 평가: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
반기 지급: C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률: C/P
가격과 수익률: 수익률 상승 → 가격 하락

방법

기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
기업 가치: V = E + D

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통

명목 연이율 4.8%, 분기 복리로 €2 000을 투자합니다. 6년 후 투자 가치 FV를 구하세요.

PV = €2 0004.8% / 4n = 6

FV = €

2.화폐의 시간 가치어려움

6년 동안 매달 말에 €500을 저축합니다. 계좌 이율은 연 3%, 월 복리입니다. 마지막에 얼마가 모일까요? FV를 구하세요.

A = €5003% / 12N = 72

FV = €

3.채권 가격과 수익률보통

액면가 €1 000인 채권이 연 6%의 이표를 지급하며 10년 후 만기이다. 만기 수익률이 8%에서 7.5%(으)로 바뀐다. 채권 가격은 얼마나 ΔP 변하는가?

F = €1 000표면이자율 = 6%n = 10y₁ = 8%y₂ = 7.5%

ΔP = €

4.채권 가격과 수익률어려움

액면가 €1 000인 채권이 연 7%의 이표를 지급하며 6년 후 만기이다. 만기 수익률은 8%이다. 매콜리 듀레이션 D을(를) 연 단위로 구하시오.

F = €1 000표면이자율 = 7%n = 6YTM = 8%

D = 년

5.CAPM과 WACC보통

어떤 회사가 €12 000 000의 자기자본과 €2 000 000의 부채을(를) 가지고 있습니다. 자기자본 비용은 11%, 세전 부채 비용은 6%, 세율은 20%입니다. WACC를 구하세요.

E = €12 000 000D = €2 000 000r_e = 11%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

6.CAPM과 WACC어려움

어떤 회사가 주당 €59.50인 주식 2 500 000주와 개당 €1 020에 거래되는 채권 40 000개을(를) 가지고 있습니다. 세전 부채 비용은 3.5%, 세율은 25%입니다. 주식의 베타는 1.3, 무위험 이자율은 2.5%, 시장 수익률은 9.5%입니다. WACC를 구하세요.

β = 1.3r_f = 2.5%r_m = 9.5%r_d = 3.5%T = 25%

WACC = %

7.NPV와 IRR보통

한 기계는 오늘 €40 000이(가) 들고, 8년 동안 쓸 수 있으며, 매년 €3 000의 운영비(매년 말 지급)가 든다. 자본 비용은 6%이다. 연간 등가 비용 EAC을(를) 구하시오.

C₀ = €40 000M = €3 000n = 8r = 6%

EAC = €

8.NPV와 IRR어려움

어떤 프로젝트는 €40 000이 들고 1년 차부터 3년 차 말까지 €22 500, €17 500, €17 500을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF₀ = −40 000CF₁ = 22 500CF₂ = 17 500CF₃ = 17 500

IRR = %

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: FV = 2663 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

이율과 기간 수

i = r/m = 0.048/4 = 0.012

N = m·n = 4·6 = 24

미래 가치

FV = 2 000·(1 + 0.012)²⁴ = 2 000·1.331 = €2 662.95

답

FV = €2 662.95

2.화폐의 시간 가치

답: FV = 39390 €

월 이율과 적립 횟수

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·6 = 72

적립금의 미래 가치

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(1.197 − 1)/0.0025 = €39 389.69

답

FV = €39 389.69

직접 넣은 돈은 €36 000이고 나머지는 이자입니다.

3.채권 가격과 수익률

답: ΔP = 31.24 €

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

이전 수익률에서의 가격

C = €60.00, i = 0.08, N = 10

€60.00·(1 − 0.4632)/0.08 + €1 000·0.4632 = €402.60 + €463.19 = €865.80

새 수익률에서의 가격

C = €60.00, i = 0.075, N = 10

€60.00·(1 − 0.4852)/0.075 + €1 000·0.4852 = €411.84 + €485.19 = €897.04

변화

ΔP = 897.04 − 865.80 = €31.24

답

ΔP = €31.24

4.채권 가격과 수익률

답: D = 5.076 년

듀레이션: 매콜리 듀레이션은 채권이 현금흐름을 지급하는 시점의 가중 평균 시간이며, 가중치는 현금흐름의 현재 가치입니다: D = Σ t·PVₜ/P. 수정 듀레이션 D/(1 + y)는 수익률의 작은 변화에 대한 가격 변화율을 추정합니다: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

각 현금흐름의 현재 가치

t = 1: 70/1.08 = 64.81, t·PV = 64.81

t = 2: 70/1.166 = 60.01, t·PV = 120.03

t = 3: 70/1.26 = 55.57, t·PV = 166.70

t = 4: 70/1.36 = 51.45, t·PV = 205.81

t = 5: 70/1.469 = 47.64, t·PV = 238.20

t = 6: 1070/1.587 = 674.28, t·PV = 4 045.69

듀레이션

P = 953.77

D = 4 841.25/953.77 = 5.076

답

D = 5.076 년

5.CAPM과 WACC

답: WACC = 10.11 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

가중치

V = €14 000 000, E/V = 0.8571, D/V = 0.1429

WACC

WACC = 0.8571·11% + 0.1429·6%·(1 − 0.2) = 10.11%

답

WACC = 10.11%

6.CAPM과 WACC

답: WACC = 9.668 %

시장가치

E = 2 500 000·€59.50 = €148 750 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

자기자본 비용 (CAPM)

r_e = 2.5% + 1.3·7% = 11.6%

가중치

V = €189 550 000, E/V = 0.7848, D/V = 0.2152

WACC

WACC = 0.7848·11.6% + 0.2152·3.5%·(1 − 0.25) = 9.668%

답

WACC = 9.668%

7.NPV와 IRR

답: EAC = 9441 €

연간 등가 비용: 모든 비용의 현재 가치를 수명 동안의 같은 연간 금액(연금)으로 나눕니다: EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). 수명이 다른 기계를 비교할 수 있습니다.

연금 현가 계수

(1 − 1.06⁻⁸)/0.06 = 6.21

연간화한 구입 가격

40 000/6.21 = 6 441.44

EAC

EAC = 6 441.44 + 3 000 = €9 441.44

답

EAC = €9 441.44

8.NPV와 IRR

답: IRR = 21.72 %

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(20%) = 1 030.09

NPV(25%) = −1 840.00

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 20 + 5·1 030.09/(1 030.09 − (−1 840.00)) = 21.79%

정확한 값: NPV(21.72%) = 0 → IRR = 21.72%

답

IRR = 21.72%

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