투자론과 가치 평가: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
반기 지급: C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률: C/P
가격과 수익률: 수익률 상승 → 가격 하락

방법

기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
기업 가치: V = E + D

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통

연금이 17년 동안 매년 말 €2 000을(를) 지급한다. 이자율은 연 4%이다. 연금의 현재 가치 PV을(를) 구하시오.

A = €2 000i = 4%n = 17

PV = €

2.화폐의 시간 가치어려움

€12 000의 대출을 6년 동안 매달 같은 금액으로 상환합니다. 이율은 연 2.4%, 월 복리입니다. 월 상환액 A를 구하세요.

P = €12 0002.4% / 12N = 72

A = €

3.채권 가격과 수익률보통

액면가 €1 000인 채권이 연 2%의 이자를 반년마다 두 번에 나누어 지급하며 4년 후 만기입니다. 만기 수익률은 연 5.5%입니다. 채권 가격 P을(를) 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 2%YTM = 5.5%n = 4

P = €

4.채권 가격과 수익률어려움

채권이 만기 수익률 3%(연 복리), 매콜리 듀레이션 4.6년으로 €920에 거래된다. 수익률이 100bp 오를 때의 새 가격 P을(를) 수정 듀레이션으로 추정하시오.

P₀ = €920y = 3%D = 4.6Δy = +100 bp

P = €

5.CAPM과 WACC보통

베타가 1.2인 주식의 요구 수익률은 10.7%이다. 무위험 이자율은 3.5%이다. CAPM이 암시하는 기대 시장 수익률 r_m은(는) 얼마인가?

β = 1.2r_e = 10.7%r_f = 3.5%

r_m = %

6.CAPM과 WACC어려움

어떤 회사가 주당 €21.00인 주식 1 000 000주와 개당 €960에 거래되는 채권 20 000개을(를) 가지고 있습니다. 세전 부채 비용은 6%, 세율은 30%입니다. 주식의 베타는 1.5, 무위험 이자율은 2%, 시장 수익률은 9%입니다. WACC를 구하세요.

β = 1.5r_f = 2%r_m = 9%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

7.NPV와 IRR보통

한 프로젝트는 오늘 €60 000이(가) 들고 6년 동안 매년 말 €21 500을(를) 돌려준다. 자본 비용은 5%이다. 현금흐름은 각 연도 동안 균등하게 들어온다고 가정한다. 할인 회수 기간 DPB을(를) 연 단위로 구하시오.

r = 5%CF₀ = −60 000CF₁ = 21 500CF₂ = 21 500CF₃ = 21 500CF₄ = 21 500CF₅ = 21 500CF₆ = 21 500

DPB = 년

8.NPV와 IRR어려움

어떤 프로젝트는 €25 000이 들고 1년 차부터 3년 차 말까지 €18 500, €17 500, €18 500을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF₀ = −25 000CF₁ = 18 500CF₂ = 17 500CF₃ = 18 500

IRR = %

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: PV = 24331 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

연금 현가 계수

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.5134)/0.04 = 12.17

현재 가치

PV = 2 000·12.17 = €24 331.34

답

PV = €24 331.34

2.화폐의 시간 가치

답: A = 179.1 €

월 이율과 상환 횟수

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·6 = 72

상환액

같은 금액 A를 N번 지급하는 것의 현재 가치는 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i입니다. 이를 대출금과 같게 놓고 A를 구합니다.

(1 + i)^−N = 0.866

A = 12 000·0.002/(1 − 0.866) = €179.12

답

A = €179.12

3.채권 가격과 수익률

답: P = 875.8 €

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

기간당

C = €10.00, i = 0.0275, N = 8

이자의 현재 가치

€10.00·(1 − 0.8049)/0.0275 = €70.94

액면가의 현재 가치

€1 000·0.8049 = €804.91

가격

P = €875.85

답

P = €875.85

수익률이 표면이자율보다 높으므로 채권은 할인 발행(액면가 미만)됩니다.

4.채권 가격과 수익률

답: P = 878.9 €

듀레이션: 매콜리 듀레이션은 채권이 현금흐름을 지급하는 시점의 가중 평균 시간이며, 가중치는 현금흐름의 현재 가치입니다: D = Σ t·PVₜ/P. 수정 듀레이션 D/(1 + y)는 수익률의 작은 변화에 대한 가격 변화율을 추정합니다: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

수정 듀레이션

D_mod = 4.6/1.03 = 4.466

추정 가격 변화

%ΔP ≈ −4.466·(0.01) = −4.466%

P ≈ 920·(1 − 0.04466) = €878.91

답

P = €878.91

듀레이션은 선형 추정입니다. 수익률 변화가 크면 볼록성 때문에 실제 가격이 조금 더 높습니다.

5.CAPM과 WACC

답: r_m = 9.5 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

시장 위험 프리미엄

r_m − r_f = (10.7% − 3.5%)/1.2 = 6%

시장 수익률

r_m = 3.5% + 6% = 9.5%

답

r_m = 9.5%

6.CAPM과 WACC

답: WACC = 8.536 %

시장가치

E = 1 000 000·€21.00 = €21 000 000

D = 20 000·€960 = €19 200 000

자기자본 비용 (CAPM)

r_e = 2% + 1.5·7% = 12.5%

가중치

V = €40 200 000, E/V = 0.5224, D/V = 0.4776

WACC

WACC = 0.5224·12.5% + 0.4776·6%·(1 − 0.3) = 8.536%

답

WACC = 8.536%

7.NPV와 IRR

답: DPB = 3.082 년

회수 기간: 누적 현금흐름이 초기 투자액을 회수할 때까지의 시간입니다. 현금은 각 연도 동안 균등하게 들어온다고 가정하므로 마지막 부분은 1년의 일부가 됩니다. 단순 회수 기간은 화폐의 시간 가치를 무시하며, 할인 회수 기간은 대신 할인된 현금흐름을 씁니다.

할인 현금흐름과 누적 현금흐름

연도 1: 21 500/1.05 = 20 476.19 → Σ = 20 476.19

연도 2: 21 500/1.103 = 19 501.13 → Σ = 39 977.32

연도 3: 21 500/1.158 = 18 572.51 → Σ = 58 549.83

연도 4: 21 500/1.216 = 17 688.10 → Σ = 76 237.94

마지막 해의 분율

DPB = 3 + 1 450.17/17 688.10 = 3.082

답

DPB = 3.082 년

할인 회수 기간은 항상 단순 회수 기간(2.791년)보다 깁니다.

8.NPV와 IRR

답: IRR = 52.05 %

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(50%) = 592.59

NPV(55%) = −812.49

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 50 + 5·592.59/(592.59 − (−812.49)) = 52.11%

정확한 값: NPV(52.05%) = 0 → IRR = 52.05%

답

IRR = 52.05%

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