투자론과 가치 평가: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
반기 지급: C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률: C/P
가격과 수익률: 수익률 상승 → 가격 하락

방법

기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
기업 가치: V = E + D

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통

신용카드의 명목 이자율은 연 16%, 분기 복리이다. 실효 연이율 EAR을(를) 퍼센트로 구하시오.

r = 16%m = 4

EAR = %

2.화폐의 시간 가치어려움

€200 000의 주택 담보 대출을 연 3%, 월 복리로 20년 동안 매월 같은 금액으로 상환한다. 3년 차 말의 상환 직후 남은 금액은 얼마인가? 대출 잔액 B을(를) 구하시오.

P = €200 0003% / 12N = 240k = 36

B = €

3.채권 가격과 수익률보통

액면가 €1 000인 채권이 연 8%의 이자를 반년마다 두 번에 나누어 지급하며 3년 후 만기입니다. 만기 수익률은 연 4%입니다. 채권 가격 P을(를) 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 8%YTM = 4%n = 3

P = €

4.채권 가격과 수익률어려움

액면가 €1 000인 채권이 연 4.5%의 이표를 지급하며 6년 후 만기이다. 만기 수익률은 8%이다. 매콜리 듀레이션 D을(를) 연 단위로 구하시오.

F = €1 000표면이자율 = 4.5%n = 6YTM = 8%

D = 년

5.CAPM과 WACC보통

한 회사는 €12 000 000 상당의 보통주, €500 000 상당의 우선주, €6 000 000 상당의 부채로 자금을 조달한다. 자기자본 비용은 9%, 우선주 비용은 6%, 세전 부채 비용은 4.5%이다. 세율은 20%이다. WACC를 구하시오.

E = €12 000 000P_s = €500 000D = €6 000 000r_e = 9%r_p = 6%r_d = 4.5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM과 WACC어려움

한 회사의 자기자본 시장가치는 €6 000 000, 자기자본 비용은 13%이다. 부채는 채권 5 000개(액면가 €1 000, 연 이표 4%, 만기까지 5년)로 이루어지며 각각 €1 046에 거래된다. 세율은 25%이다. 채권의 만기 수익률을 세전 부채 비용으로 하여 WACC를 구하시오.

E = €6 000 000r_e = 13%채권: 5 000 × €1 046표면이자율 = 4%n = 5T = 25%

WACC = %

7.NPV와 IRR보통

한 기계는 오늘 €30 000이(가) 든다. 8년 동안 매년 말 €4 500을(를) 창출하고, 그 후 €7 500에 팔 수 있다. 자본 비용은 10%이다. 순현재가치 NPV을(를) 구하시오.

C₀ = €30 000CF = €4 500S = €7 500n = 8r = 10%

NPV = €

8.NPV와 IRR어려움

어떤 프로젝트는 €10 000이 들고 1년 차부터 2년 차 말까지 €6 500, €5 000을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 500CF₂ = 5 000

IRR = %

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: EAR = 16.99 %

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

기간당 이자율

r/m = 0.16/4 = 0.04

1년간 복리 계산

EAR = (1 + 0.04)⁴ − 1 = 1.17 − 1 = 16.99%

답

EAR = 16.99%

이자가 1년에 두 번 이상 복리로 붙으면 EAR은 항상 명목 이자율보다 높습니다.

2.화폐의 시간 가치

답: B = 177082 €

월 상환액

i = 0.0025, N = 240

A = 200 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)⁻²⁴⁰) = €1 109.20

남은 상환액의 현재 가치

아직 남은 부채는 남은 상환액으로 정확히 갚아야 합니다.

N − k = 240 − 36 = 204

B = 1109·(1 − (1 + 0.0025)⁻²⁰⁴)/0.0025 = €177 081.74

답

B = €177 081.74

3.채권 가격과 수익률

답: P = 1112 €

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

기간당

C = €40.00, i = 0.02, N = 6

이자의 현재 가치

€40.00·(1 − 0.888)/0.02 = €224.06

액면가의 현재 가치

€1 000·0.888 = €887.97

가격

P = €1 112.03

답

P = €1 112.03

수익률이 표면이자율보다 낮으므로 채권은 할증 발행(액면가 초과)됩니다.

4.채권 가격과 수익률

답: D = 5.324 년

듀레이션: 매콜리 듀레이션은 채권이 현금흐름을 지급하는 시점의 가중 평균 시간이며, 가중치는 현금흐름의 현재 가치입니다: D = Σ t·PVₜ/P. 수정 듀레이션 D/(1 + y)는 수익률의 작은 변화에 대한 가격 변화율을 추정합니다: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

각 현금흐름의 현재 가치

t = 1: 45/1.08 = 41.67, t·PV = 41.67

t = 2: 45/1.166 = 38.58, t·PV = 77.16

t = 3: 45/1.26 = 35.72, t·PV = 107.17

t = 4: 45/1.36 = 33.08, t·PV = 132.31

t = 5: 45/1.469 = 30.63, t·PV = 153.13

t = 6: 1045/1.587 = 658.53, t·PV = 3 951.16

듀레이션

P = 838.20

D = 4 462.59/838.20 = 5.324

답

D = 5.324 년

5.CAPM과 WACC

답: WACC = 7.168 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

가중치

V = 12 000 000 + 500 000 + 6 000 000 = €18 500 000

E/V = 0.6486, P_s/V = 0.02703, D/V = 0.3243

WACC

WACC = 0.6486·9% + 0.02703·6% + 0.3243·4.5%·(1 − 0.2) = 7.168%

답

WACC = 7.168%

6.CAPM과 WACC

답: WACC = 7.992 %

부채 비용(YTM)

1046 = 40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1000/(1 + y)⁵

y = 2.996%

시장가치

D = 5 000·€1 046 = €5 230 000

V = €11 230 000, E/V = 0.5343, D/V = 0.4657

WACC

WACC = 0.5343·13% + 0.4657·2.996%·(1 − 0.25) = 7.992%

답

WACC = 7.992%

7.NPV와 IRR

답: NPV = −2494 €

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

연간 현금흐름의 현재 가치

4 500·5.335 = 24 007.17

잔존 가치의 현재 가치

7 500/2.144 = 3 498.81

NPV

NPV = −30 000 + 24 007.17 + 3 498.81 = −€2 494.03

답

NPV = −€2 494.03

8.NPV와 IRR

답: IRR = 10.32 %

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(10%) = 41.32

NPV(15%) = −567.11

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 10 + 5·41.32/(41.32 − (−567.11)) = 10.34%

정확한 값: NPV(10.32%) = 0 → IRR = 10.32%

답

IRR = 10.32%

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