투자론과 가치 평가: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
반기 지급: C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률: C/P
가격과 수익률: 수익률 상승 → 가격 하락

방법

기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
기업 가치: V = E + D

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통

€2 000을(를) 연 2%의 연속 복리로 투자한다. 14년 후의 가치 FV을(를) 구하시오.

PV = €2 000r = 2%t = 14

FV = €

2.화폐의 시간 가치어려움

18년 후에 €50 000을(를) 모으고 싶다. 연 5.4%, 월 복리 계좌에 매월 말 같은 금액을 저축한다. 월 적립액 A을(를) 구하시오.

FV = €50 0005.4% / 12N = 216

A = €

3.채권 가격과 수익률보통

액면가 €1 000인 채권이 연 8%의 이자를 반년마다 두 번에 나누어 지급하며 9년 후 만기입니다. 만기 수익률은 연 4%입니다. 채권 가격 P을(를) 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 8%YTM = 4%n = 9

P = €

4.채권 가격과 수익률어려움

액면가 €1 000, 연 이자율 5%인 채권이 4년 후 만기이며 €950에 거래됩니다. 만기 수익률 YTM을(를) 퍼센트로 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 5%n = 4P = €950

YTM = %

5.CAPM과 WACC보통

한 회사의 부채비율(시장가치 기준 D/E)은 1이다. 자기자본 비용은 12%, 세전 부채 비용은 7%, 세율은 20%이다. WACC를 구하시오.

D/E = 1r_e = 12%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

6.CAPM과 WACC어려움

한 회사 사업의 무부채(자산) 베타는 0.9이다. 회사는 부채비율 D/E를 0.4(으)로 계획한다. 세율은 21%, 무위험 이자율은 2.5%, 시장 위험 프리미엄은 5%이다. 새 자본 구조에서의 자기자본 비용 r_e을(를) 구하시오.

β_U = 0.9D/E = 0.4T = 21%r_f = 2.5%r_m − r_f = 5%

r_e = %

7.NPV와 IRR보통

한 프로젝트는 오늘 €50 000이(가) 들고 1년 차부터 6년 차까지 매년 말 €13 500, €18 500, €18 500, €19 000, €17 500, €20 000을(를) 돌려준다. 자본 비용은 10%이다. 현금흐름은 각 연도 동안 균등하게 들어온다고 가정한다. 할인 회수 기간 DPB을(를) 연 단위로 구하시오.

r = 10%CF₀ = −50 000CF₁ = 13 500CF₂ = 18 500CF₃ = 18 500CF₄ = 19 000CF₅ = 17 500CF₆ = 20 000

DPB = 년

8.NPV와 IRR어려움

어떤 프로젝트는 €10 000이 들고 1년 차부터 3년 차 말까지 €6 500, €5 000, €6 500을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 500CF₂ = 5 000CF₃ = 6 500

IRR = %

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: FV = 2646 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

지수

r·t = 0.02·14 = 0.28

e^0.28 = 1.323

미래 가치

FV = 2 000·1.323 = €2 646.26

답

FV = €2 646.26

2.화폐의 시간 가치

답: A = 137.4 €

월 이율과 적립 횟수

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·18 = 216

적립액

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 50 000·0.0045/(2.637 − 1) = €137.41

답

A = €137.41

3.채권 가격과 수익률

답: P = 1300 €

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

기간당

C = €40.00, i = 0.02, N = 18

이자의 현재 가치

€40.00·(1 − 0.7002)/0.02 = €599.68

액면가의 현재 가치

€1 000·0.7002 = €700.16

가격

P = €1 299.84

답

P = €1 299.84

수익률이 표면이자율보다 낮으므로 채권은 할증 발행(액면가 초과)됩니다.

4.채권 가격과 수익률

답: YTM = 6.458 %

수익률 방정식

€950 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

수치적으로 풀기

P(6%) = €965.35, P(7%) = €932.26

YTM = 6.458%

답

YTM = 6.458%

5.CAPM과 WACC

답: WACC = 8.8 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

D/E에서 구한 가중치

E/V = 1/(1 + 1) = 0.5

D/V = 1/(1 + 1) = 0.5

WACC

WACC = 0.5·12% + 0.5·7%·(1 − 0.2) = 8.8%

답

WACC = 8.8%

6.CAPM과 WACC

답: r_e = 8.422 %

레버리지 베타(하마다): 부채는 자기자본의 위험을 키웁니다. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)이며, β_U는 부채가 없는 사업의 베타입니다. 베타를 다른 자본 구조로 옮기려면 먼저 언레버한 다음 새 D/E로 다시 레버하세요.

레버리지 베타

β_L = 0.9·(1 + 0.79·0.4) = 1.184

자기자본 비용 (CAPM)

r_e = 2.5% + 1.184·5% = 8.422%

답

r_e = 8.422%

7.NPV와 IRR

답: DPB = 3.658 년

회수 기간: 누적 현금흐름이 초기 투자액을 회수할 때까지의 시간입니다. 현금은 각 연도 동안 균등하게 들어온다고 가정하므로 마지막 부분은 1년의 일부가 됩니다. 단순 회수 기간은 화폐의 시간 가치를 무시하며, 할인 회수 기간은 대신 할인된 현금흐름을 씁니다.

할인 현금흐름과 누적 현금흐름

연도 1: 13 500/1.1 = 12 272.73 → Σ = 12 272.73

연도 2: 18 500/1.21 = 15 289.26 → Σ = 27 561.98

연도 3: 18 500/1.331 = 13 899.32 → Σ = 41 461.31

연도 4: 19 000/1.464 = 12 977.26 → Σ = 54 438.56

마지막 해의 분율

DPB = 3 + 8 538.69/12 977.26 = 3.658

답

DPB = 3.658 년

할인 회수 기간은 항상 단순 회수 기간(2.973년)보다 깁니다.

8.NPV와 IRR

답: IRR = 36.51 %

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(35%) = 200.17

NPV(40%) = −437.32

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 35 + 5·200.17/(200.17 − (−437.32)) = 36.57%

정확한 값: NPV(36.51%) = 0 → IRR = 36.51%

답

IRR = 36.51%

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