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1 공식과 풀이 방법화폐의 시간 가치
미래 가치 FV = PV·(1 + i)n
현재 가치 PV = FV/(1 + i)n
연간 여러 기간 i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치 PV = PMT·[1 − (1 + i)−n ]/i
연금의 미래 가치 FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i 방법 모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요. 이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율. 단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요. 답의 부호와 크기 수준을 확인하세요. 채권 가격과 수익률
채권 가격 P = C·(1 − (1 + y)−n )/y + F/(1 + y)n
반기 지급 C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률 C/P
가격과 수익률 수익률 상승 → 가격 하락 방법 기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요. 가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치. 반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요. 확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다. CAPM과 WACC
CAPM re = rf + β·(rm − rf )
WACC E/V·re + D/V·rd ·(1 − T)
기업 가치 V = E + D NPV와 IRR
순현재가치 NPV = −C0 + Σ CFt /(1 + r)t
균등 현금 흐름 NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n ]/r
내부수익률 NPV = 0이 되는 r
의사 결정 NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택 방법 모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다. 각 현금흐름을 할인하세요: CFt /(1 + r)t . 모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다. IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요. 2 연습 문제1. 화폐의 시간 가치 보통
명목 연이율 3.6%, 월 복리로 €5 000을 투자합니다. 3년 후 투자 가치 FV 를 구하세요.
PV = €5 000 3.6% / 12 n = 3
FV =
2. 화폐의 시간 가치 어려움
년 0 1 2 3 … 22 €2 500 €2 500 €2 500 FV = ? 22년 동안 매년 초에 €2 500을(를) 예금하며, 첫 예금은 오늘이다. 계좌의 이자율은 연 3%이다. 22년 차 말 계좌에는 얼마가 있는가? FV 을(를) 구하시오.
A = €2 500 i = 3% n = 22
FV =
3. 채권 가격과 수익률 보통
년 0 1 2 3 … 11 P €50 €50 €50 + €1 000 액면가 €1 000인 채권이 연 5%의 이표를 지급하며 11년 후 만기이다. 만기 수익률이 9%에서 9.5%(으)로 바뀐다. 채권 가격은 얼마나 ΔP 변하는가?
F = €1 000 표면이자율 = 5% n = 11 y1 = 9% y2 = 9.5%
ΔP =
4. 채권 가격과 수익률 어려움
액면가 €1 000인 채권이 연 3%의 이표를 지급하며 3년 후 만기이다. 만기 수익률은 7%이다. 매콜리 듀레이션 D 을(를) 연 단위로 구하시오.
F = €1 000 표면이자율 = 3% n = 3 YTM = 7%
D =
5. CAPM과 WACC 보통
WACC = ? 보통주 €5 000 000 re = 14% 우선주 €500 000 rp = 6.5% 부채 €6 000 000 rd = 6% T = 30%
한 회사는 €5 000 000 상당의 보통주, €500 000 상당의 우선주, €6 000 000 상당의 부채로 자금을 조달한다. 자기자본 비용은 14%, 우선주 비용은 6.5%, 세전 부채 비용은 6%이다. 세율은 30%이다. WACC를 구하시오.
E = €5 000 000 Ps = €500 000 D = €6 000 000 re = 14% rp = 6.5% rd = 6% T = 30%
WACC =
6. CAPM과 WACC 어려움
WACC = ? 자기자본 1 000 000 × €11.00 D0 = €1.60 g = 2% 부채 €5 500 000 rd = 4.5% T = 28%
한 회사의 주식 1 000 000주가 €11.00에 거래되며, 자기자본의 장부가치는 €6 600 000이다. 방금 주당 €1.60의 배당을 지급했고 배당은 매년 2%씩 성장한다. 부채의 시장가치는 €5 500 000, 세전 비용은 4.5%이다. 세율은 28%이다. 자기자본 비용에 배당 성장 모형을 써서 WACC를 구하시오.
N = 1 000 000 P0 = €11.00 장부상 자기자본 = €6 600 000 D0 = €1.60 g = 2% D = €5 500 000 rd = 4.5% T = 28%
WACC =
7. NPV와 IRR 보통
년 0 1 2 3 4 −30 000 15 000 10 000 7 000 7 000 €30 000을 투자하면 1년 차부터 4년 차 말까지 다음 현금흐름이 생깁니다: €15 000, €10 000, €7 000, €7 000. 자본 비용은 15%입니다. 순현재가치 NPV 를 구하세요.
r = 15% CF0 = −30 000 CF1 = 15 000 CF2 = 10 000 CF3 = 7 000 CF4 = 7 000
NPV =
8. NPV와 IRR 어려움
년 0 1 2 3 4 −10 000 6 000 5 000 5 500 4 500 한 프로젝트는 €10 000이(가) 들고 1년 차부터 4년 차까지 매년 말 €6 000, €5 000, €5 500, €4 500을(를) 돌려준다. 현금흐름은 자본 비용 6%로 재투자할 수 있다. 수정 내부 수익률 MIRR 을(를) 퍼센트로 구하시오.
r = 6% CF0 = −10 000 CF1 = 6 000 CF2 = 5 000 CF3 = 5 500 CF4 = 4 500
MIRR =
3 용액1. 화폐의 시간 가치
답: FV = 5569 €
화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)n 으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.
이율과 기간 수 i = r/m = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = m·n = 12·3 = 36
미래 가치 FV = 5 000·(1 + 0.003)36 = 5 000·1.114 = €5 569.34
2. 화폐의 시간 가치
답: FV = 78632 €
화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)n 으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.
보통 연금 계수 ((1 + 0.03)22 − 1)/0.03 = 30.54
기초 연금 각 예금이 1년 더 오래 운용됩니다.
FV = 2 500·30.54·1.03 = €78 632.21
3. 채권 가격과 수익률
답: ΔP = −26.92 €
채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.
이전 수익률에서의 가격 C = €50.00, i = 0.09, N = 11
€50.00·(1 − 0.3875)/0.09 + €1 000·0.3875 = €340.26 + €387.53 = €727.79
새 수익률에서의 가격 C = €50.00, i = 0.095, N = 11
€50.00·(1 − 0.3685)/0.095 + €1 000·0.3685 = €332.37 + €368.51 = €700.87
변화 ΔP = 700.87 − 727.79 = −€26.92
4. 채권 가격과 수익률
답: D = 2.908 년
듀레이션: 매콜리 듀레이션은 채권이 현금흐름을 지급하는 시점의 가중 평균 시간이며, 가중치는 현금흐름의 현재 가치입니다: D = Σ t·PVₜ/P. 수정 듀레이션 D/(1 + y)는 수익률의 작은 변화에 대한 가격 변화율을 추정합니다: %ΔP ≈ −Dmod ·Δy.
각 현금흐름의 현재 가치 t = 1: 30/1.07 = 28.04, t·PV = 28.04
t = 2: 30/1.145 = 26.20, t·PV = 52.41
t = 3: 1030/1.225 = 840.79, t·PV = 2 522.36
듀레이션 P = 895.03
D = 2 602.80/895.03 = 2.908
5. CAPM과 WACC
답: WACC = 8.561 %
자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: re = rf + β·(rm − rf ). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·re + D/V·rd ·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.
가중치 V = 5 000 000 + 500 000 + 6 000 000 = €11 500 000
E/V = 0.4348, Ps /V = 0.04348, D/V = 0.5217
WACC WACC = 0.4348·14% + 0.04348·6.5% + 0.5217·6%·(1 − 0.3) = 8.561%
6. CAPM과 WACC
답: WACC = 12.3 %
자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: re = rf + β·(rm − rf ). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·re + D/V·rd ·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.
자기자본 비용 D1 = 1.6·1.02 = €1.63
re = 1.632/11 + 0.02 = 16.84%
시장가치 E = 1 000 000·€11.00 = €11 000 000
V = €16 500 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333
WACC WACC = 0.6667·16.84% + 0.3333·4.5%·(1 − 0.28) = 12.3%
7. NPV와 IRR
답: NPV = −790.2 €
순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.
각 현금흐름의 현재 가치 CF0 = −30 000
CF1 /(1 + 0.15)1 = 15 000/1.15 = 13 043.48
CF2 /(1 + 0.15)2 = 10 000/1.322 = 7 561.44
CF3 /(1 + 0.15)3 = 7 000/1.521 = 4 602.61
CF4 /(1 + 0.15)4 = 7 000/1.749 = 4 002.27
NPV가 음수이므로 이 프로젝트는 요구 수익률보다 적게 법니다.
8. NPV와 IRR
답: MIRR = 23.28 %
수정 IRR: 모든 유입액을 재투자 수익률(보통 자본 비용)로 프로젝트 종료 시점까지 복리 계산해 최종 가치 TV를 구합니다. MIRR은 초기 투자액을 TV로 만드는 수익률입니다: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
유입액의 최종 가치 6 000·1.063 = 7 146.10
5 000·1.062 = 5 618.00
5 500·1.061 = 5 830.00
4 500·1.060 = 4 500.00
TV = 23 094.10
MIRR MIRR = (23 094.10/10 000)1/4 − 1 = 23.28%