기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

1500 rpm으로 도는 4 kW 모터가 잇수 24개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 36개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 95%이다. 기어 축의 출력 토크 T₂을(를) 구하시오.

P = 4 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 24N₂ = 36η = 95%

T₂ = N·m

2.기어와 기어열어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 18개)가 1500 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 40개)를 구동한다. 기어 C(잇수 20개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D를 구동한다. 출력은 225 rpm으로 돌아야 한다. 기어 D의 잇수 N_D은(는) 몇 개여야 하는가?

n_in = 1500 rpmA = 18B = 40C = 20n_out = 225 rpm

N_D =

3.축의 비틀림보통

단이 진 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 40 mm, 길이 3 m이고, 구간 BC는 지름 25 mm, 길이 2 m이다. 자유단 C에 토크 250 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 250 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 3 md₂ = 25 mm, L₂ = 2 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.축의 비틀림어려움

지름 20 mm인 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 0.8 m 떨어진 B에 토크 200 N·m이(가), 거기서 1.2 m 더 떨어진 자유단 C에 같은 방향의 토크 200 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

d = 20 mmT_B = 200 N·mT_C = 200 N·mAB = 0.8 mBC = 1.2 m

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −50 MPa, σᵧ = 70 MPa, τₓᵧ = 50 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θ_p을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σ_x = −50 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 110 MPa, σᵧ = −40 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 30° 회전한 면의 전단 응력 τ_θ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).

σ_x = 110 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -30°

τ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

축하중을 받는 알루미늄 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 110 kNd = 20 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 30 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 200 mm, E = 110 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 20 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 80 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

200 kg 질량이 강성 150 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 2190 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 200 kgk = 150 kN/mc = 2190 N·s/m

ζ =

12.기계 진동어려움

100 kg 질량이 스프링 k₃ = 40 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 80 kN/m, k₂ = 15 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 100 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: T₂ = 36.29 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/157.1 = 25.46 N·m

출력 토크

T₂ = 25.46·36/24·0.95 = 36.29 N·m

답

T₂ = 36.29 N·m

2.기어와 기어열

답: N_D = 60

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

중간축 속도

n_B = n_C = 1500·18/40 = 675 rpm

기어 D의 잇수

N_D = C·n_C/n_out = 20·675/225 = 60

답

N_D = 60

3.축의 비틀림

답: φ_C = 11.48 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

각 구간의 비틀림각

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 250000·3000/(80000·251327) = 0.0373 rad

φ_BC = 250000·2000/(80000·38350) = 0.163 rad

전체 비틀림각

φ_C = 0.0373 + 0.163 = 0.2003 rad = 11.48°

답

φ_C = 11.48°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 254.6 MPa

내부 토크

T_C의 방향을 양으로 잡습니다.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C + T_B = 200 + 200 = 400 N·m

최대 전단 응력

내부 토크가 가장 큰 구간의 응력이 가장 큽니다(지름이 같음).

|T|_max = 400 N·m

τ_max = 16·400000/(π·20³) = 254.6 MPa

답

τ_max = 254.6 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_p = 70.1 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θ_p = atan2(2·50, −50 − 70) = 140.2°

요소에서의 각도

θ_p = 70.1°

답

θ_p = 70.1°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: τ_θ = 79.95 MPa

변환 식

τ_θ = −75·−0.866 + 30·0.5 = 79.95 MPa

답

τ_θ = 79.95 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 15.01 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 110·1000/314.2 = 350.1 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 350.1/70000 = 0.005002 = 5002 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.005002·3000 mm = 15.01 mm

답

δ = 15.01 mm

8.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 8.072 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·706.9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 110000·1963/200 = 1.08 × 10⁶ N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 20000·1.08 × 10⁶/1.363 × 10⁶ = 15850 N

응력

σ₂ = 15850/1963 = 8.072 MPa (압축)

답

σ₂ = 8.072 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 347.3 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·1000 = 2000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/2000² = 347270 N = 347.3 kN

답

P_cr = 347.3 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 1.554 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/15 = 666.7

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/666.7² = 1.554 MPa

답

σ_cr = 1.554 MPa

11.기계 진동

답: ζ = 0.1999

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·200) = 10954 N·s/m

감쇠비

ζ = c/c_c = 2190/10954 = 0.1999

답

ζ = 0.1999

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: f_n = 2.67 Hz

등가 강성

k₁과 k₂만 병렬입니다. 그 쌍이 k₃와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k₁₂ = 80 + 15 = 95 kN/m

k_eq = 95·40/(95 + 40) = 28.15 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(28148/100) = 16.78 rad/s

f_n = 16.78/(2π) = 2.67 Hz

답

f_n = 2.67 Hz

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