기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

2900 rpm으로 도는 0.75 kW 모터가 잇수 30개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 48개인 기어와 맞물려 있다. 손실은 무시한다. 모터 축의 토크 T₁을(를) 구하시오.

P = 0.75 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 30N₂ = 48η = 100%

T₁ = N·m

2.기어와 기어열어려움

유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 30개, 각 유성 기어의 잇수는 20개이다. 링 기어는 고정되어 있고 태양 기어는 1800 rpm으로 구동된다. 유성 캐리어의 회전 속도 n_c을(를) 구하시오.

N_s = 30N_p = 20n_s = 1800 rpm

n_c = rpm

3.축의 비틀림보통

황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 0.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

지름 40 mm인 속이 찬 황동 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 1.5 m, B에서 0.5 m 떨어진 C에 토크 400 N·m이(가) 가해진다. 단면 C의 회전각 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

d = 40 mmT₀ = 400 N·ma = 1.5 mb = 0.5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 110 MPa, σᵧ = −30 MPa이다. 최대 주응력이 155 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τ_xy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?

σ_x = 110 MPaσ_y = −30 MPaσ₁ = 155 MPa

τ_xy = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 100 MPa, σᵧ = −70 MPa, τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). 재료의 항복 강도는 250 MPa이다. 트레스카(최대 전단 응력) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σ_x = 100 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −50 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.축 응력과 변형률보통

황동 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 20 kNd = 16 mmL = 2 mE = 100 GPa

ε = µε

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 120 kN구간 1: Ø25 mm, 1.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø12 mm, 0.5 m, 강철 (E = 200 GPa)

δ = mm

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 200 GPa (강철)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

50 kg 질량이 강성 10 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 420 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 50 kgk = 10 kN/mc = 420 N·s/m

ζ =

12.기계 진동어려움

40 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 12 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 100 kN/m이다. 스프링계의 등가 강성 k_eq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 40 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: T₁ = 2.47 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/303.7 = 2.47 N·m

답

T₁ = 2.47 N·m

2.기어와 기어열

답: n_c = 540 rpm

유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.

링 기어 잇수

N_r = N_s + 2·N_p = 30 + 2·20 = 70

링 고정일 때의 윌리스 식

n_r = 0으로 두고 캐리어 속도를 구합니다.

(1800 − n_c)/(0 − n_c) = −70/30

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1800·30/100 = 540 rpm

답

n_c = 540 rpm

캐리어는 태양 기어와 같은 방향으로 돕니다.

3.축의 비틀림

답: φ = 1.197 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(39000·613592) = 0.02089 rad

φ = 0.02089·180/π = 1.197°

답

φ = 1.197°

4.축의 비틀림

답: φ_C = 0.8768 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 T_A + T_B = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

T_A + T_B = 400

T_A·a = T_B·b

T_A = 400·0.5/2 = 100 N·m

T_B = 400·1.5/2 = 300 N·m

C의 회전각

구간 AC를 쓰세요. A에서 고정되어 있고 T_A를 받습니다.

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 100000·1500/(39000·251327) = 0.0153 rad = 0.8768°

답

φ_C = 0.8768°

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_xy = 91.24 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

필요한 반지름

C = (110 + (−30))/2 = 40 MPa

R = σ₁ − C = 155 − 40 = 115 MPa

전단 응력

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(115² − 70²) = 91.24 MPa

답

τ_xy = 91.24 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: n = 1.268

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 15 MPa, R = 98.62 MPa

σ₁ = 113.6 MPa, σ₂ = −83.62 MPa, σ₃ = 0

트레스카

σ_max − σ_min = 197.2 MPa

n = 250/197.2 = 1.268

답

n = 1.268

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

7.축 응력과 변형률

답: ε = 994.7 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 20·1000/201.1 = 99.47 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 99.47/100000 = 0.0009947 = 994.7 µε

답

ε = 994.7 µε

8.축 응력과 변형률

답: δ = 7.891 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 244.5 MPa

σ₂ = 1061 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 244.5·1500/70000 = 5.238 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 1061·500/200000 = 2.653 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7.891 mm

답

δ = 7.891 mm

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 93.58 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·3000 = 3000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/3000² = 93578 N = 93.58 kN

답

P_cr = 93.58 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 8.812 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 314.2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/5 = 280

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8.812 MPa

답

σ_cr = 8.812 MPa

11.기계 진동

답: ζ = 0.297

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·50) = 1414 N·s/m

감쇠비

ζ = c/c_c = 420/1414 = 0.297

답

ζ = 0.297

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: k_eq = 10.71 kN/m

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/100 → k_eq = 12·100/(12 + 100) = 10.71 kN/m

답

k_eq = 10.71 kN/m

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