기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
960 rpm으로 도는 1.1 kW 모터가 잇수 25개, 모듈 3 mm인 피니언을 구동한다. 피니언 이에 작용하는 접선력 Ft을(를) 구하시오.
P = 1.1 kWn = 960 rpmN1 = 25m = 3 mm
Ft = N
2.기어와 기어열어려움
유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 16개, 각 유성 기어의 잇수는 24개이다. 링 기어는 고정되어 있고 태양 기어는 1800 rpm으로 구동된다. 유성 캐리어의 회전 속도 nc을(를) 구하시오.
Ns = 16Np = 24ns = 1800 rpm
nc = rpm
3.축의 비틀림보통
황동 중공축(바깥지름 50 mm, 안지름 25 mm, 길이 3 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 200 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.
T = 200 N·mdo = 50 mmdi = 25 mmL = 3 mG = 39 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 축이 1500 rpm에서 20 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 50 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 20 kWN = 1500 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 110 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = 60 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
σx = 110 MPaσy = 20 MPaτxy = 60 MPa
τmax = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
안지름 800 mm, 벽 두께 6 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 3 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 50°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매를 따라 작용하는 전단 응력 크기 |τn|을(를) 구하시오.
D = 800 mmt = 6 mmp = 3 MPaα = 50°
|τn| = MPa
7.축 응력과 변형률보통
축하중을 받는 황동 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 105 kNd = 30 mmL = 2 mE = 100 GPa
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 80 kN구간 1: Ø30 mm, 1.5 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø16 mm, 0.5 m, 황동 (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 80 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 45 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 45 kNn = 2.5L = 5 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
11.기계 진동보통
감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 15 mm 다음 한 주기 뒤에 최댓값 5.8 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.
x0 = 15 mmx1 = 5.8 mmn = 1
ζ =
12.기계 진동어려움
20 kg 질량이 스프링 k₃ = 40 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 10 kN/m, k₂ = 50 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 20 kgk1 = 10 kN/mk2 = 50 kN/mk3 = 40 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: Ft = 291.8 N
기어의 기하: 모듈 m이 이의 크기를 정합니다. 잇수 N인 기어의 피치원 지름은 d = m·N이고, 맞물리는 두 기어는 모듈이 같으며, 중심 거리는 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2입니다. 피치원 속도는 v = π·d·n/60이고, 접선 방향 치면력은 토크에서 나옵니다: Ft = 2T/d.
피니언의 토크
ω = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T = P/ω = 1100/100.5 = 10.94 N·m
피치원 지름
d = m·N = 3·25 = 75 mm
접선력
Ft = 2T/d = 2·10.94/0.075 = 291.8 N
답
Ft = 291.8 N
2.기어와 기어열
답: nc = 360 rpm
유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.
링 기어 잇수
Nr = Ns + 2·Np = 16 + 2·24 = 64
링 고정일 때의 윌리스 식
nr = 0으로 두고 캐리어 속도를 구합니다.
(1800 − nc)/(0 − nc) = −64/16
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 1800·16/80 = 360 rpm
답
nc = 360 rpm
캐리어는 태양 기어와 같은 방향으로 돕니다.
3.축의 비틀림
답: φ = 1.532 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴
비틀림각
T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 3 m = 3000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 200000·3000/(39000·575243) = 0.02674 rad
φ = 0.02674·180/π = 1.532°
답
φ = 1.532°
4.축의 비틀림
답: d = 23.49 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 20000/157.1 = 127.3 N·m
허용 응력에서 지름 구하기
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·127324/(π·50)) = 23.49 mm
답
d = 23.49 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
5.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 75 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
모어 원의 반지름
τmax = R = √(((110 − 20)/2)² + 60²) = 75 MPa
답
τmax = 75 MPa
6.모어 원과 응력 변환
답: |τn| = 49.24 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σh = pr/t, 축 응력 σa = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.
벽의 응력
r = 800/2 = 400 mm
σh = pr/t = 3·400/6 = 200 MPa
σa = pr/(2t) = 100 MPa
이음매 방향으로 변환
x를 축 방향(σa), y를 원주 방향(σh)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.
|τn| = (200 − 100)·sin 50°·cos 50° = 49.24 MPa
답
|τn| = 49.24 MPa
7.축 응력과 변형률
답: δ = 2.971 mm
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 105·1000/706.9 = 148.5 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 148.5/100000 = 0.001485 = 1485 µε
늘음량
δ = ε·L = 0.001485·2000 mm = 2.971 mm
답
δ = 2.971 mm
8.축 응력과 변형률
답: σmax = 397.9 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 113.2 MPa
σ2 = 397.9 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 397.9 MPa
답
σmax = 397.9 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 113.4 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/3500² = 113394 N = 113.4 kN
답
Pcr = 113.4 kN
10.기둥의 좌굴
답: d = 103.8 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2.5·45000 = 112500 N
KL = 2·5000 = 10000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·112500·10000²/(π³·200000))^(1/4) = 103.8 mm
답
d = 103.8 mm
확인: 세장비 KL/r는 385.3이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
11.기계 진동
답: ζ = 0.1495
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
대수 감쇠율
δ = (1/1)·ln(15/5.8) = 0.9502
감쇠비
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.9502/√(39.48 + 0.9029) = 0.1495
답
ζ = 0.1495
12.기계 진동
답: fn = 5.513 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.
k12 = 10 + 50 = 60 kN/m
keq = 60·40/(60 + 40) = 24 kN/m
고유 진동수
ωn = √(24000/20) = 34.64 rad/s
fn = 34.64/(2π) = 5.513 Hz
답
fn = 5.513 Hz
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