기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

벨트가 150 mm 구동 풀리 위를 1440 rpm으로 달립니다. 장력은 긴장측 1000 N, 이완측 300 N입니다. 전달 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

d₁ = 150 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 1000 NT₂ = 300 N

P = kW

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 1500 rpm의 100 mm 구동 풀리를 500 mm 풀리에 연결하며 중심 간 거리는 1200 mm입니다. 마찰계수는 0.25이고 긴장측 장력은 1200 N을 넘을 수 없습니다. 벨트가 미끄러지지 않고 전달할 수 있는 최대 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오(원심력의 영향은 무시).

d₁ = 100 mmn₁ = 1500 rpmd₂ = 500 mmC = 1200 mmμ = 0.25T₁ = 1200 N

P = kW

3.축의 비틀림보통

알루미늄 중공축(바깥지름 75 mm, 안지름 45 mm, 길이 0.8 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 500 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 500 N·md_o = 75 mmd_i = 45 mmL = 0.8 mG = 26 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 축이 3000 rpm에서 75 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 50 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 75 kWN = 3000 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = −10 MPa, σᵧ = −20 MPa, τₓᵧ = −10 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θ_s을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σ_x = −10 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_s = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

안지름 400 mm, 벽 두께 10 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 2.5 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 20°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매에 수직으로 작용하는 수직 응력 σ_n을(를) 구하시오.

D = 400 mmt = 10 mmp = 2.5 MPaα = 20°

σ_n = MPa

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 10 kNd = 16 mmL = 0.5 mE = 200 GPa

ε = µε

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 60 kN구간 1: Ø30 mm, 1.5 m, 강철 (E = 200 GPa)구간 2: Ø16 mm, 1 m, 구리 (E = 117 GPa)

δ = mm

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 30 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 120 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 120 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.기계 진동보통

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 30 mm 다음 2주기 뒤에 최댓값 18.1 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x₀ = 30 mmx₂ = 18.1 mmn = 2

ζ =

12.기계 진동어려움

25 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 60 kN/m, k₂ = 20 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 25 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: P = 7.917 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 속도

v = 11.31 m/s

전력

P = (1000 − 300)·11.31 = 7917 W = 7.917 kW

답

P = 7.917 kW

2.기어와 기어열

답: P = 4.752 kW

접촉각

θ = 2.807 rad

이완측 장력

e^μθ = e^0.7017 = 2.017, T₂ = 1200/2.017 = 594.9 N

전력

P = (1200 − 594.9)·7.854 = 4.752 kW

답

P = 4.752 kW

3.축의 비틀림

답: φ = 0.326 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2.704 × 10⁶ mm⁴

비틀림각

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 0.8 m = 800 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·800/(26000·2.704 × 10⁶) = 0.00569 rad

φ = 0.00569·180/π = 0.326°

답

φ = 0.326°

4.축의 비틀림

답: d = 28.97 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 75000/314.2 = 238.7 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·238732/(π·50)) = 28.97 mm

답

d = 28.97 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_s = −76.72 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θ_s = −10/11.18 = −0.8944, sin 2θ_s = −5/11.18 = −0.4472

2θ_s = atan2(−5, −10) = −153.4°

요소에서의 각도

θ_s = −76.72°

검산: θ_s − θ_p = −76.72 − (−31.72) = −45°

답

θ_s = −76.72°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_n = 47.08 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σ_h = pr/t, 축 응력 σ_a = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 2.5·200/10 = 50 MPa

σ_a = pr/(2t) = 25 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σ_a), y를 원주 방향(σ_h)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

σ_n = 25·sin²20° + 50·cos²20° = 47.08 MPa

답

σ_n = 47.08 MPa

7.축 응력과 변형률

답: ε = 248.7 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 10·1000/201.1 = 49.74 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 49.74/200000 = 0.0002487 = 248.7 µε

답

ε = 248.7 µε

8.축 응력과 변형률

답: δ = 3.187 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 84.88 MPa

σ₂ = 298.4 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 84.88·1500/200000 = 0.6366 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 298.4·1000/117000 = 2.551 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3.187 mm

답

δ = 3.187 mm

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 3.052 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/3000² = 3052 N = 3.052 kN

답

P_cr = 3.052 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 87.81 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·120000 = 360000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·360000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 87.81 mm

답

d = 87.81 mm

확인: 세장비 KL/r는 182.2이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.04018

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/2)·ln(30/18.1) = 0.2526

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2526/√(39.48 + 0.06383) = 0.04018

답

ζ = 0.04018

12.기계 진동

답: f_n = 9.003 Hz

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 60 + 20 = 80 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(80000/25) = 56.57 rad/s

f_n = 56.57/(2π) = 9.003 Hz

답

f_n = 9.003 Hz

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