기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
줄 수 4인 웜이 960 rpm으로 돌며 잇수 36개인 웜 휠을 구동한다. 휠의 회전 속도 nw을(를) 구하시오.
z = 4Nw = 36n = 960 rpm
nw = rpm
2.기어와 기어열어려움
960 rpm의 7.5 kW 모터가 기어 A(잇수 25개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 36개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 18개)는 출력축의 기어 D(잇수 32개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 95%이다. 출력 토크 Tout을(를) 구하시오.
P = 7.5 kWnin = 960 rpmA = 25B = 36C = 18D = 32ηmesh = 95%
Tout = N·m
3.축의 비틀림보통
길이 2.5 m인 속이 찬 황동 축이 토크 100 N·m을(를) 받는다. 양 끝 사이의 비틀림각은 2°를 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
T = 100 N·mL = 2.5 mG = 39 GPaφallow = 2°
d = mm
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 알루미늄 축이 750 rpm에서 10 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 60 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 1°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 10 kWN = 750 rpmτallow = 60 MPaθallow = 1°/mG = 26 GPa
d = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = 140 MPa, σᵧ = −20 MPa, τₓᵧ = −10 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θs을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.
σx = 140 MPaσy = −20 MPaτxy = −10 MPa
θs = °
6.모어 원과 응력 변환어려움
지름 30 mm인 속이 찬 축이 축방향 압축력 130 kN와(과) 토크 250 N·m를 함께 받는다. 축의 표면에서 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
d = 30 mmF = −130 kNT = 250 N·m
τmax = MPa
7.축 응력과 변형률보통
강철 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 50 kNd = 10 mmL = 3 mE = 200 GPa
ε = µε
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 115 kN구간 1: Ø25 mm, 1.5 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø20 mm, 1.5 m, 황동 (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 6 mE = 200 GPa (강철)d = 30 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 50 mm
σcr = MPa
11.기계 진동보통
강성 40 kN/m인 스프링에 달린 80 kg 질량에 감쇠비 0.45을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 fd을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 80 kgk = 40 kN/mζ = 0.45
fd = Hz
12.기계 진동어려움
25 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 50 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 80 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 25 kgk1 = 50 kN/mk2 = 80 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: nw = 106.7 rpm
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
휠 속도
nw = n·z/Nw = 960·4/36 = 106.7 rpm
답
nw = 106.7 rpm
2.기어와 기어열
답: Tout = 172.4 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
출력 회전 속도
nout = 960·(25/36)·(18/32) = 375 rpm
ωout = 2π·375/60 = 39.27 rad/s
출력 동력과 토크
Pout = 7500·0.95² = 6769 W
Tout = Pout/ωout = 6769/39.27 = 172.4 N·m
답
Tout = 172.4 N·m
3.축의 비틀림
답: d = 36.98 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
필요한 극관성 모멘트
T = 100 N·m = 100000 N·mm
L = 2.5 m = 2500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 2·π/180 = 0.03491 rad
J = TL/(Gφ) = 100000·2500/(39000·0.03491) = 183640 mm⁴
지름
d = (32J/π)1/4 = 36.98 mm
답
d = 36.98 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
4.축의 비틀림
답: d = 41.12 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 10000/78.54 = 127.3 N·m
강도 기준 지름
T = 127.3 N·m = 127324 N·mm
dτ = ∛(16·127324/(π·60)) = 22.11 mm
강성 기준 지름
θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·127324/(π·26000·1.745 × 10⁻⁵))1/4 = 41.12 mm
지배 지름
두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.
d = max(22.11, 41.12) = 41.12 mm
답
d = 41.12 mm
여기서는 강성이 지배합니다.
5.모어 원과 응력 변환
답: θs = −48.56 °
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각도
모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.
cos 2θs = −10/80.62 = −0.124, sin 2θs = −80/80.62 = −0.9923
2θs = atan2(−80, −10) = −97.13°
요소에서의 각도
θs = −48.56°
검산: θs − θp = −48.56 − (−3.563) = −45°
답
θs = −48.56°
반시계 방향 각도가 양입니다.
6.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 103.3 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
표면의 응력
σ = F/A = −130000/(π·30²/4) = −130000/706.9 = −183.9 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·30³) = 47.16 MPa
모어 원
C = σ/2 = −91.96 MPa
R = √((−91.96)² + 47.16²) = 103.3 MPa
답
τmax = 103.3 MPa
7.축 응력과 변형률
답: ε = 3183 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 50·1000/78.54 = 636.6 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 636.6/200000 = 0.003183 = 3183 µε
답
ε = 3183 µε
8.축 응력과 변형률
답: σmax = 366.1 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 234.3 MPa
σ2 = 366.1 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 366.1 MPa
답
σmax = 366.1 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 8.721 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3000² = 8721 N = 8.721 kN
답
Pcr = 8.721 kN
10.기둥의 좌굴
답: σcr = 26.99 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/12.5 = 160
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26.99 MPa
답
σcr = 26.99 MPa
11.기계 진동
답: fd = 3.178 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
비감쇠 고유 진동수
ωn = √(40000/80) = 22.36 rad/s
fn = 22.36/(2π) = 3.559 Hz
감쇠 고유 진동수
fd = fn·√(1 − ζ²) = 3.559·√(1 − 0.45²) = 3.178 Hz
답
fd = 3.178 Hz
12.기계 진동
답: fn = 5.584 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/50 + 1/80 → keq = 50·80/(50 + 80) = 30.77 kN/m
고유 진동수
ωn = √(30769/25) = 35.08 rad/s
fn = 35.08/(2π) = 5.584 Hz
답
fn = 5.584 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design