기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
줄 수 2인 웜이 960 rpm으로 돌며 잇수 80개인 웜 휠을 구동한다. 휠의 회전 속도 nw을(를) 구하시오.
z = 2Nw = 80n = 960 rpm
nw = rpm
2.기어와 기어열어려움
1440 rpm의 7.5 kW 모터가 기어 A(잇수 30개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 50개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 12개)는 출력축의 기어 D(잇수 80개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 96%이다. 출력 토크 Tout을(를) 구하시오.
P = 7.5 kWnin = 1440 rpmA = 30B = 50C = 12D = 80ηmesh = 96%
Tout = N·m
3.축의 비틀림보통
알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 250 N·md = 40 mmL = 1.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 빈 축이 3000 rpm에서 100 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
P = 100 kWN = 3000 rpmdo = 75 mmdi = 56 mm
τmax = MPa
5.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 140 MPa, σᵧ = −20 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.
σx = 140 MPaσy = −20 MPaτxy = 40 MPa
θp = °
6.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 60 MPa, σᵧ = 60 MPa, τₓᵧ = 20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 45° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.
σx = 60 MPaσy = 60 MPaτxy = 20 MPaθ = 45°
σθ = MPa
7.축 응력과 변형률보통
알루미늄 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 20 kNd = 25 mmL = 0.5 mE = 70 GPa
ε = µε
8.축 응력과 변형률어려움
강철 구간(지름 40 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 300 mm, E = 70 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 100 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.
구간 1: 강철, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø50 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 65 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 65 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
11.기계 진동보통
250 kg 질량이 강성 80 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 1790 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.
m = 250 kgk = 80 kN/mc = 1790 N·s/m
ζ =
12.기계 진동어려움
40 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 25 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 100 kN/m이다. 스프링계의 등가 강성 keq을(를) kN/m 단위로 구하시오.
m = 40 kgk1 = 25 kN/mk2 = 100 kN/m
keq = kN/m
3용액
1.기어와 기어열
답: nw = 24 rpm
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
휠 속도
nw = n·z/Nw = 960·2/80 = 24 rpm
답
nw = 24 rpm
2.기어와 기어열
답: Tout = 509.3 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
출력 회전 속도
nout = 1440·(30/50)·(12/80) = 129.6 rpm
ωout = 2π·129.6/60 = 13.57 rad/s
출력 동력과 토크
Pout = 7500·0.96² = 6912 W
Tout = Pout/ωout = 6912/13.57 = 509.3 N·m
답
Tout = 509.3 N·m
3.축의 비틀림
답: φ = 3.288 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(26000·251327) = 0.05739 rad
φ = 0.05739·180/π = 3.288°
답
φ = 3.288°
4.축의 비틀림
답: τmax = 5.576 MPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 100000/314.2 = 318.3 N·m
극관성 모멘트
J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2.141 × 10⁶ mm⁴
최대 전단 응력
τmax = T·(do/2)/J = 318310·37.5/2.141 × 10⁶ = 5.576 MPa
답
τmax = 5.576 MPa
5.모어 원과 응력 변환
답: θp = 13.28 °
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각도
모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.
2θp = atan2(2·40, 140 − −20) = 26.57°
요소에서의 각도
θp = 13.28°
답
θp = 13.28°
반시계 방향 각도가 양입니다.
6.모어 원과 응력 변환
답: σθ = 80 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
σθ = 60 + 0·0 + 20·1 = 80 MPa
답
σθ = 80 MPa
7.축 응력과 변형률
답: ε = 582.1 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 20·1000/490.9 = 40.74 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 40.74/70000 = 0.0005821 = 582.1 µε
답
ε = 582.1 µε
8.축 응력과 변형률
답: σ2 = 18.01 MPa
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
강성
k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm
k₂ = 70000·1963/300 = 458149 N/mm
구간 2의 몫
F2 = 100000·458149/1.296 × 10⁶ = 35354 N
응력
σ2 = 35354/1963 = 18.01 MPa (압축)
답
σ2 = 18.01 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 269.2 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 1·1500 = 1500 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1500² = 269152 N = 269.2 kN
답
Pcr = 269.2 kN
10.기둥의 좌굴
답: d = 48.13 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2·65000 = 130000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 48.13 mm
답
d = 48.13 mm
확인: 세장비 KL/r는 166.2이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
11.기계 진동
답: ζ = 0.2001
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
임계 감쇠
cc = 2·√(k·m) = 2·√(80000·250) = 8944 N·s/m
감쇠비
ζ = c/cc = 1790/8944 = 0.2001
답
ζ = 0.2001
ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.
12.기계 진동
답: keq = 20 kN/m
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/25 + 1/100 → keq = 25·100/(25 + 100) = 20 kN/m
답
keq = 20 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design