기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

벨트가 120 mm 구동 풀리 위를 1500 rpm으로 달립니다. 장력은 긴장측 1500 N, 이완측 600 N입니다. 전달 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

d₁ = 120 mmn₁ = 1500 rpmT₁ = 1500 NT₂ = 600 N

P = kW

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 2880 rpm의 100 mm 구동 풀리를 250 mm 풀리에 연결하며 중심 간 거리는 1200 mm입니다. 마찰계수는 0.3이고 긴장측 장력은 2000 N을 넘을 수 없습니다. 벨트가 미끄러지지 않고 전달할 수 있는 최대 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오(원심력의 영향은 무시).

d₁ = 100 mmn₁ = 2880 rpmd₂ = 250 mmC = 1200 mmμ = 0.3T₁ = 2000 N

P = kW

3.축의 비틀림보통

단이 진 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 30 mm, 길이 0.8 m이고, 구간 BC는 지름 20 mm, 길이 0.8 m이다. 자유단 C에 토크 400 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 400 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 0.8 md₂ = 20 mm, L₂ = 0.8 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 300 rpm에서 50 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 50 kWN = 300 rpmd_o = 50 mmd_i = 25 mm

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 50 MPa, σᵧ = 60 MPa이다. 최대 주응력이 115 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τ_xy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?

σ_x = 50 MPaσ_y = 60 MPaσ₁ = 115 MPa

τ_xy = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −40 MPa, σᵧ = −40 MPa, τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). 재료의 항복 강도는 460 MPa이다. 트레스카(최대 전단 응력) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σ_x = −40 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 50 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 50 mm, E = 120 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 800 mm이며 강체 판 사이에서 100 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 100 kN막대: Ø30 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa, 허용응력 150 MPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 80 mm, 안지름 60 mm, E = 120 GPa, 허용응력 70 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 P_max을(를) 구하시오.

막대: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPa관: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 40 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 30 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 30 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.기계 진동보통

강성 20 kN/m인 스프링에 달린 150 kg 질량에 감쇠비 0.5을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 150 kgk = 20 kN/mζ = 0.5

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

5 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 15 kN/m, k₂ = 80 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 5 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: P = 8.482 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 속도

v = 9.425 m/s

전력

P = (1500 − 600)·9.425 = 8482 W = 8.482 kW

답

P = 8.482 kW

2.기어와 기어열

답: P = 17.96 kW

접촉각

θ = 3.017 rad

이완측 장력

e^μθ = e^0.905 = 2.472, T₂ = 2000/2.472 = 809.1 N

전력

P = (2000 − 809.1)·15.08 = 17.96 kW

답

P = 17.96 kW

3.축의 비틀림

답: φ_C = 17.47 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J₁ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

J₂ = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

각 구간의 비틀림각

T = 400 N·m = 400000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 400000·800/(80000·79522) = 0.0503 rad

φ_BC = 400000·800/(80000·15708) = 0.2546 rad

전체 비틀림각

φ_C = 0.0503 + 0.2546 = 0.3049 rad = 17.47°

답

φ_C = 17.47°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 69.17 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 50000/31.42 = 1592 N·m

극관성 모멘트

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1.592 × 10⁶·25/575243 = 69.17 MPa

답

τ_max = 69.17 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_xy = 59.79 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

필요한 반지름

C = (50 + 60)/2 = 55 MPa

R = σ₁ − C = 115 − 55 = 60 MPa

전단 응력

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(60² − 5²) = 59.79 MPa

답

τ_xy = 59.79 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: n = 4.6

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = −40 MPa, R = 50 MPa

σ₁ = 10 MPa, σ₂ = −90 MPa, σ₃ = 0

트레스카

σ_max − σ_min = 100 MPa

n = 460/100 = 4.6

답

n = 4.6

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.06335 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·9346 = 1.263 × 10⁹ N

줄어든 길이

δ = 100000·800/1.263 × 10⁹ = 0.06335 mm

답

δ = 0.06335 mm

8.축 응력과 변형률

답: P_max = 236.4 kN

넓이

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·2199 = 4.053 × 10⁸ N

지배 변형률

ε = min(0.00075, 0.0005833) = 0.0005833 (구리)

최대 하중

P_max = 0.0005833·4.053 × 10⁸ = 236405 N = 236.4 kN

답

P_max = 236.4 kN

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 2.412 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·6000 = 6000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/6000² = 2412 N = 2.412 kN

답

P_cr = 2.412 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 46.9 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2.5·30000 = 75000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 46.9 mm

답

d = 46.9 mm

확인: 세장비 KL/r는 213.2이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: f_d = 1.592 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(20000/150) = 11.55 rad/s

f_n = 11.55/(2π) = 1.838 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1.838·√(1 − 0.5²) = 1.592 Hz

답

f_d = 1.592 Hz

12.기계 진동

답: f_n = 21.94 Hz

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 15 + 80 = 95 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(95000/5) = 137.8 rad/s

f_n = 137.8/(2π) = 21.94 Hz

답

f_n = 21.94 Hz

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