기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

두 평행축이 202.5 mm 떨어져 있다. 두 축을 모듈 3 mm, 감속비 3.5 : 1인 한 쌍의 스퍼 기어로 연결해야 한다. 기어의 잇수 N₂은(는) 몇 개여야 하는가?

a = 202.5 mmm = 3 mmi = 3.5

N₂ =

2.기어와 기어열어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 20개)가 3000 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 25개)를 구동한다. 기어 C(잇수 15개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 18개)를 구동한다. 출력 속도 n_out을(를) 구하시오.

n_in = 3000 rpmA = 20B = 25C = 15D = 18

n_out = rpm

3.축의 비틀림보통

알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 500 N·md = 50 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 알루미늄 축이 300 rpm에서 10 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 60 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 0.5°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 10 kWN = 300 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0.5°/mG = 26 GPa

d = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 40 MPa, σᵧ = −10 MPa이다. 최대 주응력이 60 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τ_xy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?

σ_x = 40 MPaσ_y = −10 MPaσ₁ = 60 MPa

τ_xy = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −20 MPa, σᵧ = −80 MPa, τₓᵧ = −60 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 40° 회전한 면의 전단 응력 τ_θ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).

σ_x = −20 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 40°

τ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 20 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 500 mm, E = 110 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.5 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø40 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0.5 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σ_max을(를) 구하시오.

P = 120 kN구간 1: Ø30 mm, 0.5 m, 강철 (E = 200 GPa)구간 2: Ø16 mm, 1.5 m, 구리 (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 200 GPa (강철)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 80 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 80 kNn = 3L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)

d = mm

11.기계 진동보통

2 kg 질량이 강성 1 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 40 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 2 kgk = 1 kN/mc = 40 N·s/m

ζ =

12.기계 진동어려움

40 kg 질량이 스프링 k₃ = 25 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 100 kN/m, k₂ = 30 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 40 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: N₂ = 105

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

총 잇수

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·202.5/3 = 135

비율로 나누기

N₁ = 135/(1 + 3.5) = 30

N₂ = 3.5·30 = 105

답

N₂ = 105

2.기어와 기어열

답: n_out = 2000 rpm

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

1단

n_B = 3000·20/25 = 2400 rpm = n_C

2단

n_out = 2400·15/18 = 2000 rpm

답

n_out = 2000 rpm

전체 기어비 = 1.5 : 1

3.축의 비틀림

답: φ = 5.387 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 500·1000·3000/(26000·613592) = 0.09402 rad

φ = 0.09402·180/π = 5.387°

답

φ = 5.387°

4.축의 비틀림

답: d = 61.48 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 10000/31.42 = 318.3 N·m

강도 기준 지름

T = 318.3 N·m = 318310 N·mm

d_τ = ∛(16·318310/(π·60)) = 30.01 mm

강성 기준 지름

θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·318310/(π·26000·8.727 × 10⁻⁶))^1/4 = 61.48 mm

지배 지름

두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.

d = max(30.01, 61.48) = 61.48 mm

답

d = 61.48 mm

여기서는 강성이 지배합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_xy = 37.42 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

필요한 반지름

C = (40 + (−10))/2 = 15 MPa

R = σ₁ − C = 60 − 15 = 45 MPa

전단 응력

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 25²) = 37.42 MPa

답

τ_xy = 37.42 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: τ_θ = −39.96 MPa

변환 식

τ_θ = −30·0.9848 + −60·0.1736 = −39.96 MPa

답

τ_θ = −39.96 MPa

7.축 응력과 변형률

답: P = 43.2 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 1257 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314.2) = 7.958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·1257) = 3.617 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.5/1.157 × 10⁻⁵ = 43197 N = 43.2 kN

답

P = 43.2 kN

8.축 응력과 변형률

답: σ_max = 596.8 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 169.8 MPa

σ₂ = 596.8 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σ_max = 596.8 MPa

답

σ_max = 596.8 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 4.112 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·2000 = 4000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/4000² = 4112 N = 4.112 kN

답

P_cr = 4.112 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 72.94 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·80000 = 240000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 72.94 mm

답

d = 72.94 mm

확인: 세장비 KL/r는 109.7이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.4472

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(1000·2) = 89.44 N·s/m

감쇠비

ζ = c/c_c = 40/89.44 = 0.4472

답

ζ = 0.4472

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: f_n = 3.644 Hz

등가 강성

k₁과 k₂만 병렬입니다. 그 쌍이 k₃와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k₁₂ = 100 + 30 = 130 kN/m

k_eq = 130·25/(130 + 25) = 20.97 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(20968/40) = 22.9 rad/s

f_n = 22.9/(2π) = 3.644 Hz

답

f_n = 3.644 Hz

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