기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

벨트가 200 mm 구동 풀리 위를 720 rpm으로 달립니다. 장력은 긴장측 400 N, 이완측 200 N입니다. 전달 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

d₁ = 200 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 400 NT₂ = 200 N

P = kW

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 120 mm 풀리와 500 mm 풀리를 연결하며 두 중심은 800 mm 떨어져 있습니다. 작은 풀리의 접촉각 θ을(를) 도 단위로 구하시오.

d₁ = 120 mmd₂ = 500 mmC = 800 mm

θ = °

3.축의 비틀림보통

강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 400 N·md = 20 mmL = 0.8 mG = 80 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 황동 축이 500 rpm에서 15 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 80 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 0.5°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 15 kWN = 500 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0.5°/mG = 39 GPa

d = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = −20 MPa, σᵧ = 10 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θ_s을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σ_x = −20 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_s = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 100 MPa, σᵧ = 80 MPa, τₓᵧ = 20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 50° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = 100 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 60 mm, E = 100 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 300 mm이며 강체 판 사이에서 150 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 150 kN막대: Ø20 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa, 허용응력 150 MPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 50 mm, E = 100 GPa, 허용응력 60 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 P_max을(를) 구하시오.

막대: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPa관: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 50 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 50 kNn = 2L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)

d = mm

11.기계 진동보통

강성 50 kN/m인 스프링에 달린 500 kg 질량에 감쇠비 0.7을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 500 kgk = 50 kN/mζ = 0.7

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

20 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 5 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 30 kN/m이다. 스프링계의 등가 강성 k_eq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 20 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: P = 1.508 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 속도

v = 7.54 m/s

전력

P = (400 − 200)·7.54 = 1508 W = 1.508 kW

답

P = 1.508 kW

2.기어와 기어열

답: θ = 152.5 °

벨트 각도

asin(0.2375) = 13.74°

접촉각

θ = 180 − 2·13.74 = 152.5°

답

θ = 152.5°

3.축의 비틀림

답: φ = 14.59 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(80000·15708) = 0.2546 rad

φ = 0.2546·180/π = 14.59°

답

φ = 14.59°

4.축의 비틀림

답: d = 54.11 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 15000/52.36 = 286.5 N·m

강도 기준 지름

T = 286.5 N·m = 286479 N·mm

d_τ = ∛(16·286479/(π·80)) = 26.32 mm

강성 기준 지름

θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·286479/(π·39000·8.727 × 10⁻⁶))^1/4 = 54.11 mm

지배 지름

두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.

d = max(26.32, 54.11) = 54.11 mm

답

d = 54.11 mm

여기서는 강성이 지배합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_s = 10.28 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θ_s = 40/42.72 = 0.9363, sin 2θ_s = −(−15)/42.72 = 0.3511

2θ_s = atan2(15, 40) = 20.56°

요소에서의 각도

θ_s = 10.28°

검산: θ_s − θ_p = 10.28 − 55.28 = −45°

답

θ_s = 10.28°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = 108 MPa

변환 식

σ_θ = 90 + 10·−0.1736 + 20·0.9848 = 108 MPa

답

σ_θ = 108 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.04939 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·8482 = 9.111 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 150000·300/9.111 × 10⁸ = 0.04939 mm

답

δ = 0.04939 mm

8.축 응력과 변형률

답: P_max = 391.1 kN

넓이

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·5890 = 6.519 × 10⁸ N

지배 변형률

ε = min(0.00075, 0.0006) = 0.0006 (황동)

최대 하중

P_max = 0.0006·6.519 × 10⁸ = 391128 N = 391.1 kN

답

P_max = 391.1 kN

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 62.01 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·2000 = 2000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2000² = 62013 N = 62.01 kN

답

P_cr = 62.01 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 58.6 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2·50000 = 100000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 58.6 mm

답

d = 58.6 mm

확인: 세장비 KL/r는 136.5이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: f_d = 1.137 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(50000/500) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1.592 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1.592·√(1 − 0.7²) = 1.137 Hz

답

f_d = 1.137 Hz

12.기계 진동

답: k_eq = 4.286 kN/m

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/30 → k_eq = 5·30/(5 + 30) = 4.286 kN/m

답

k_eq = 4.286 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design