기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
120 mm 풀리가 1450 rpm으로 돌며 미끄러짐 2 %인 벨트로 450 mm 풀리를 구동합니다. 종동 풀리의 속도 n2을(를) 구하시오.
n1 = 1450 rpmd1 = 120 mmd2 = 450 mms = 2 %
n2 = rpm
2.기어와 기어열어려움
복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 30개)가 3000 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 80개)를 구동한다. 기어 C(잇수 25개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 45개)를 구동한다. 출력 속도 nout을(를) 구하시오.
nin = 3000 rpmA = 30B = 80C = 25D = 45
nout = rpm
3.축의 비틀림보통
강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 100 N·md = 25 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
지름 60 mm인 속이 찬 알루미늄 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 0.8 m 떨어진 B에 토크 250 N·m이(가), 거기서 3 m 더 떨어진 자유단 C에 같은 방향의 토크 100 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 크기 φC을(를) 도(°)로 구하시오.
d = 60 mmTB = 250 N·mTC = 100 N·mAB = 0.8 mBC = 3 mG = 26 GPa
φC = °
5.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −80 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = 10 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
σx = −80 MPaσy = 20 MPaτxy = 10 MPa
τmax = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 30 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = 10 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 60° 회전한 면의 전단 응력 τθ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).
σx = 30 MPaσy = 20 MPaτxy = 10 MPaθ = 60°
τθ = MPa
7.축 응력과 변형률보통
강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 80 mm, 안지름 60 mm, E = 100 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 300 mm이며 강체 판 사이에서 300 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.
P = 300 kN막대: Ø30 mm, E = 200 GPa관: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 300 mm
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 25 kN구간 1: Ø25 mm, 1.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1.5 m, 구리 (E = 117 GPa)
σmax = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 40 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 2 mE = 200 GPa (강철)d = 80 mm
σcr = MPa
11.기계 진동보통
500 kg 질량이 강성 200 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 6000 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.
m = 500 kgk = 200 kN/mc = 6000 N·s/m
ζ =
12.기계 진동어려움
10 kg 질량이 스프링 k₃ = 20 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 5 kN/m, k₂ = 20 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 10 kgk1 = 5 kN/mk2 = 20 kN/mk3 = 20 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: n2 = 378.9 rpm
벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.
미끄러짐 없을 때의 속도
1450·120/450 = 386.7 rpm
미끄러짐이 있을 때
n2 = 386.7·0.98 = 378.9 rpm
답
n2 = 378.9 rpm
2.기어와 기어열
답: nout = 625 rpm
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
1단
nB = 3000·30/80 = 1125 rpm = nC
2단
nout = 1125·25/45 = 625 rpm
답
nout = 625 rpm
전체 기어비 = 4.8 : 1
3.축의 비틀림
답: φ = 1.494 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(80000·38350) = 0.02608 rad
φ = 0.02608·180/π = 1.494°
답
φ = 1.494°
4.축의 비틀림
답: φC = 1.005 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
내부 토크
TC의 방향을 양으로 잡습니다.
TBC = TC = 100 N·m
TAB = TC + TB = 100 + 250 = 350 N·m
각 구간의 비틀림각
J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 350000·800/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.008464 rad
φBC = 100000·3000/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.009069 rad
끝 C의 비틀림각
φC = 0.008464 + 0.009069 = 0.01753 rad → |φC| = 1.005°
답
φC = 1.005°
5.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 50.99 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
모어 원의 반지름
τmax = R = √(((−80 − 20)/2)² + 10²) = 50.99 MPa
답
τmax = 50.99 MPa
6.모어 원과 응력 변환
답: τθ = −9.33 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
τθ = −5·0.866 + 10·−0.5 = −9.33 MPa
답
τθ = −9.33 MPa
7.축 응력과 변형률
답: δ = 0.2491 mm
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
합성 축강성
ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·2199 = 3.613 × 10⁸ N
줄어든 길이
δ = 300000·300/3.613 × 10⁸ = 0.2491 mm
답
δ = 0.2491 mm
8.축 응력과 변형률
답: σmax = 221 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 50.93 MPa
σ2 = 221 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 221 MPa
답
σmax = 221 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 4.922 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/4200² = 4922 N = 4.922 kN
답
Pcr = 4.922 kN
10.기둥의 좌굴
답: σcr = 197.4 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/20 = 100
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197.4 MPa
답
σcr = 197.4 MPa
11.기계 진동
답: ζ = 0.3
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
임계 감쇠
cc = 2·√(k·m) = 2·√(200000·500) = 20000 N·s/m
감쇠비
ζ = c/cc = 6000/20000 = 0.3
답
ζ = 0.3
ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.
12.기계 진동
답: fn = 5.305 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.
k12 = 5 + 20 = 25 kN/m
keq = 25·20/(25 + 20) = 11.11 kN/m
고유 진동수
ωn = √(11111/10) = 33.33 rad/s
fn = 33.33/(2π) = 5.305 Hz
답
fn = 5.305 Hz
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