기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
벨트가 120 mm 구동 풀리 위를 2880 rpm으로 달립니다. 장력은 긴장측 400 N, 이완측 100 N입니다. 전달 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.
d1 = 120 mmn1 = 2880 rpmT1 = 400 NT2 = 100 N
P = kW
2.기어와 기어열어려움
복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 15개)가 3000 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 60개)를 구동한다. 기어 C(잇수 18개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 50개)를 구동한다. 출력 속도 nout을(를) 구하시오.
nin = 3000 rpmA = 15B = 60C = 18D = 50
nout = rpm
3.축의 비틀림보통
비틀림 시험에서 지름 15 mm인 속이 찬 시편에 토크 50 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 200 mm의 양 끝이 서로 4.43° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.
T = 50 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 4.43°
G = GPa
4.축의 비틀림어려움
속이 빈 축이 1000 rpm에서 75 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
P = 75 kWN = 1000 rpmdo = 60 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = 100 MPa, σᵧ = −60 MPa이다. 최대 주응력이 125 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τxy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?
σx = 100 MPaσy = −60 MPaσ1 = 125 MPa
τxy = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 50 MPa, σᵧ = 70 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 15° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.
σx = 50 MPaσy = 70 MPaτxy = 30 MPaθ = 15°
σθ = MPa
7.축 응력과 변형률보통
축하중을 받는 강철 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 70 kNd = 12 mmL = 0.5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
강철 구간(지름 20 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 300 mm, E = 100 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 80 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.
구간 1: 강철, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 30 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 145 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 145 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
11.기계 진동보통
감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 30 mm 다음 4주기 뒤에 최댓값 11 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.
x0 = 30 mmx4 = 11 mmn = 4
ζ =
12.기계 진동어려움
5 kg 질량이 스프링 k₃ = 60 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 25 kN/m, k₂ = 100 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 5 kgk1 = 25 kN/mk2 = 100 kN/mk3 = 60 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: P = 5.429 kW
벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.
벨트 속도
v = 18.1 m/s
전력
P = (400 − 100)·18.1 = 5429 W = 5.429 kW
답
P = 5.429 kW
2.기어와 기어열
답: nout = 270 rpm
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
1단
nB = 3000·15/60 = 750 rpm = nC
2단
nout = 750·18/50 = 270 rpm
답
nout = 270 rpm
전체 기어비 = 11.11 : 1
3.축의 비틀림
답: G = 26.02 GPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트와 각
J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 4.43·π/180 = 0.07732 rad
전단 탄성 계수
T = 50 N·m = 50000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 50000·200/(4970·0.07732) = 26023 MPa
G = 26.02 GPa
답
G = 26.02 GPa
비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.
4.축의 비틀림
답: τmax = 18.01 MPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 75000/104.7 = 716.2 N·m
극관성 모멘트
J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1.193 × 10⁶ mm⁴
최대 전단 응력
τmax = T·(do/2)/J = 716197·30/1.193 × 10⁶ = 18.01 MPa
답
τmax = 18.01 MPa
5.모어 원과 응력 변환
답: τxy = 68.01 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
필요한 반지름
C = (100 + (−60))/2 = 20 MPa
R = σ1 − C = 125 − 20 = 105 MPa
전단 응력
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(105² − 80²) = 68.01 MPa
답
τxy = 68.01 MPa
6.모어 원과 응력 변환
답: σθ = 66.34 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
σθ = 60 + −10·0.866 + 30·0.5 = 66.34 MPa
답
σθ = 66.34 MPa
7.축 응력과 변형률
답: δ = 1.547 mm
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 70·1000/113.1 = 618.9 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 618.9/200000 = 0.003095 = 3095 µε
늘음량
δ = ε·L = 0.003095·500 mm = 1.547 mm
답
δ = 1.547 mm
8.축 응력과 변형률
답: σ2 = 59.92 MPa
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
강성
k₁ = 200000·314.2/300 = 209440 N/mm
k₂ = 100000·706.9/300 = 235619 N/mm
구간 2의 몫
F2 = 80000·235619/445059 = 42353 N
응력
σ2 = 42353/706.9 = 59.92 MPa (압축)
답
σ2 = 59.92 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 6.867 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 1·2000 = 2000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2000² = 6867 N = 6.867 kN
답
Pcr = 6.867 kN
10.기둥의 좌굴
답: d = 49.17 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2.5·145000 = 362500 N
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·362500·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 49.17 mm
답
d = 49.17 mm
확인: 세장비 KL/r는 101.7이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
11.기계 진동
답: ζ = 0.03989
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
대수 감쇠율
δ = (1/4)·ln(30/11) = 0.2508
감쇠비
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2508/√(39.48 + 0.06291) = 0.03989
답
ζ = 0.03989
12.기계 진동
답: fn = 14.33 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.
k12 = 25 + 100 = 125 kN/m
keq = 125·60/(125 + 60) = 40.54 kN/m
고유 진동수
ωn = √(40541/5) = 90.05 rad/s
fn = 90.05/(2π) = 14.33 Hz
답
fn = 14.33 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design