기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
2900 rpm으로 도는 4 kW 모터가 잇수 16개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 20개인 기어와 맞물려 있다. 손실은 무시한다. 기어 축의 출력 토크 T2을(를) 구하시오.
P = 4 kWn1 = 2900 rpmN1 = 16N2 = 20η = 100%
T2 = N·m
2.기어와 기어열어려움
평벨트가 160 mm 풀리와 400 mm 풀리를 연결하며 두 중심은 800 mm 떨어져 있습니다. 작은 풀리의 접촉각 θ을(를) 도 단위로 구하시오.
d1 = 160 mmd2 = 400 mmC = 800 mm
θ = °
3.축의 비틀림보통
알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 1000 N·md = 50 mmL = 3 mG = 26 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 강철 축이 1500 rpm에서 75 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 60 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 0.75°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 75 kWN = 1500 rpmτallow = 60 MPaθallow = 0.75°/mG = 80 GPa
d = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 60 MPa, σᵧ = 120 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
σx = 60 MPaσy = 120 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
지름 25 mm인 속이 찬 축이 축방향 압축력 80 kN와(과) 토크 1000 N·m를 함께 받는다. 축의 표면에서 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
d = 25 mmF = −80 kNT = 1000 N·m
τmax = MPa
7.축 응력과 변형률보통
알루미늄 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 110 kNd = 12 mmL = 3 mE = 70 GPa
ε = µε
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 80 kN구간 1: Ø30 mm, 1.5 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø16 mm, 0.5 m, 구리 (E = 117 GPa)
σmax = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 2 mE = 200 GPa (강철)d = 60 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 30 mm
σcr = MPa
11.기계 진동보통
감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 30 mm 다음 5주기 뒤에 최댓값 6.2 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.
x0 = 30 mmx5 = 6.2 mmn = 5
ζ =
12.기계 진동어려움
5 kg 질량이 스프링 k₃ = 100 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 12 kN/m, k₂ = 12 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 5 kgk1 = 12 kN/mk2 = 12 kN/mk3 = 100 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: T2 = 16.46 N·m
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
모터 토크
ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 4000/303.7 = 13.17 N·m
출력 토크
T2 = 13.17·20/16·1 = 16.46 N·m
답
T2 = 16.46 N·m
2.기어와 기어열
답: θ = 162.7 °
벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.
벨트 각도
asin(0.15) = 8.627°
접촉각
θ = 180 − 2·8.627 = 162.7°
답
θ = 162.7°
3.축의 비틀림
답: φ = 10.77 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·3000/(26000·613592) = 0.188 rad
φ = 0.188·180/π = 10.77°
답
φ = 10.77°
4.축의 비틀림
답: d = 46.42 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 75000/157.1 = 477.5 N·m
강도 기준 지름
T = 477.5 N·m = 477465 N·mm
dτ = ∛(16·477465/(π·60)) = 34.35 mm
강성 기준 지름
θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·477465/(π·80000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 46.42 mm
지배 지름
두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.
d = max(34.35, 46.42) = 46.42 mm
답
d = 46.42 mm
여기서는 강성이 지배합니다.
5.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 42.43 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
모어 원의 반지름
τmax = R = √(((60 − 120)/2)² + 30²) = 42.43 MPa
답
τmax = 42.43 MPa
6.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 336 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
표면의 응력
σ = F/A = −80000/(π·25²/4) = −80000/490.9 = −163 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·25³) = 325.9 MPa
모어 원
C = σ/2 = −81.49 MPa
R = √((−81.49)² + 325.9²) = 336 MPa
답
τmax = 336 MPa
7.축 응력과 변형률
답: ε = 13894 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 110·1000/113.1 = 972.6 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 972.6/70000 = 0.01389 = 13894 µε
답
ε = 13894 µε
8.축 응력과 변형률
답: σmax = 397.9 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 113.2 MPa
σ2 = 397.9 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 397.9 MPa
답
σmax = 397.9 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 78.48 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 2·2000 = 4000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/4000² = 78485 N = 78.48 kN
답
Pcr = 78.48 kN
10.기둥의 좌굴
답: σcr = 38.86 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
KL/r = 1000/7.5 = 133.3
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133.3² = 38.86 MPa
답
σcr = 38.86 MPa
11.기계 진동
답: ζ = 0.05012
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
대수 감쇠율
δ = (1/5)·ln(30/6.2) = 0.3153
감쇠비
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3153/√(39.48 + 0.09943) = 0.05012
답
ζ = 0.05012
12.기계 진동
답: fn = 9.902 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.
k12 = 12 + 12 = 24 kN/m
keq = 24·100/(24 + 100) = 19.35 kN/m
고유 진동수
ωn = √(19355/5) = 62.22 rad/s
fn = 62.22/(2π) = 9.902 Hz
답
fn = 9.902 Hz
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