기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

150 mm 풀리가 1450 rpm으로 돌며 미끄러짐 2.5 %인 벨트로 450 mm 풀리를 구동합니다. 종동 풀리의 속도 n₂을(를) 구하시오.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 450 mms = 2.5 %

n₂ = rpm

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 1440 rpm의 125 mm 구동 풀리를 400 mm 풀리에 연결하며 중심 간 거리는 600 mm입니다. 마찰계수는 0.3이고 긴장측 장력은 800 N을 넘을 수 없습니다. 벨트가 미끄러지지 않고 전달할 수 있는 최대 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오(원심력의 영향은 무시).

d₁ = 125 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 400 mmC = 600 mmμ = 0.3T₁ = 800 N

P = kW

3.축의 비틀림보통

알루미늄 중공축(바깥지름 50 mm, 안지름 38 mm, 길이 0.5 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 250 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 250 N·md_o = 50 mmd_i = 38 mmL = 0.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 축이 750 rpm에서 30 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 75 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 30 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 130 MPa, σᵧ = −40 MPa, τₓᵧ = 10 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 반시계 방향 20° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σ_y′을(를) 구하시오.

σ_x = 130 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 20°

σ_y′ = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 150 MPa, σᵧ = −70 MPa, τₓᵧ = −30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 25° 회전한 면의 전단 응력 τ_θ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).

σ_x = 150 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

축하중을 받는 강철 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 30 kNd = 25 mmL = 3 mE = 200 GPa

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 25 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 300 mm, E = 100 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 50 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø40 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 200 GPa (강철)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 70 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 70 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)

d = mm

11.기계 진동보통

150 kg 질량이 강성 100 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 390 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 150 kgk = 100 kN/mc = 390 N·s/m

ζ =

12.기계 진동어려움

50 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 30 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 40 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 50 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: n₂ = 471.2 rpm

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

미끄러짐 없을 때의 속도

1450·150/450 = 483.3 rpm

미끄러짐이 있을 때

n₂ = 483.3·0.975 = 471.2 rpm

답

n₂ = 471.2 rpm

2.기어와 기어열

답: P = 4.165 kW

접촉각

θ = 2.679 rad

이완측 장력

e^μθ = e^0.8037 = 2.234, T₂ = 800/2.234 = 358.1 N

전력

P = (800 − 358.1)·9.425 = 4.165 kW

답

P = 4.165 kW

3.축의 비틀림

답: φ = 0.6737 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

비틀림각

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 0.5 m = 500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·500/(26000·408885) = 0.01176 rad

φ = 0.01176·180/π = 0.6737°

답

φ = 0.6737°

4.축의 비틀림

답: d = 29.6 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 30000/78.54 = 382 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·381972/(π·75)) = 29.6 mm

답

d = 29.6 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: σ_y′ = −26.54 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

y′ 면의 변환 공식

σ_y′ = 45 − 85·0.766 − 10·0.6428 = −26.54 MPa

검산

수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.

σ_x′ = 116.5 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 90 = σ_x + σ_y

답

σ_y′ = −26.54 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: τ_θ = −103.5 MPa

변환 식

τ_θ = −110·0.766 + −30·0.6428 = −103.5 MPa

답

τ_θ = −103.5 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.9167 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 30·1000/490.9 = 61.12 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 61.12/200000 = 0.0003056 = 305.6 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.0003056·3000 mm = 0.9167 mm

답

δ = 0.9167 mm

8.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 25.09 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·490.9/400 = 245437 N/mm

k₂ = 100000·1257/300 = 418879 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 50000·418879/664316 = 31527 N

응력

σ₂ = 31527/1257 = 25.09 MPa (압축)

답

σ₂ = 25.09 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 3.655 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·3000 = 6000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/6000² = 3655 N = 3.655 kN

답

P_cr = 3.655 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 58.37 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2.5·70000 = 175000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·175000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 58.37 mm

답

d = 58.37 mm

확인: 세장비 KL/r는 102.8이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.05035

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·150) = 7746 N·s/m

감쇠비

ζ = c/c_c = 390/7746 = 0.05035

답

ζ = 0.05035

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: f_n = 2.947 Hz

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/30 + 1/40 → k_eq = 30·40/(30 + 40) = 17.14 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(17143/50) = 18.52 rad/s

f_n = 18.52/(2π) = 2.947 Hz

답

f_n = 2.947 Hz

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