기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

1450 rpm으로 도는 5.5 kW 모터가 잇수 12개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 15개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 96%이다. 모터 축의 토크 T₁을(를) 구하시오.

P = 5.5 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 12N₂ = 15η = 96%

T₁ = N·m

2.기어와 기어열어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 12개)가 1500 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 72개)를 구동한다. 기어 C(잇수 24개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D를 구동한다. 출력은 150 rpm으로 돌아야 한다. 기어 D의 잇수 N_D은(는) 몇 개여야 하는가?

n_in = 1500 rpmA = 12B = 72C = 24n_out = 150 rpm

N_D =

3.축의 비틀림보통

단이 진 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 60 mm, 길이 0.5 m이고, 구간 BC는 지름 40 mm, 길이 0.5 m이다. 자유단 C에 토크 250 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 250 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 0.5 md₂ = 40 mm, L₂ = 0.5 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 축이 750 rpm에서 15 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 15 kWN = 750 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 10 MPa, σᵧ = 50 MPa, τₓᵧ = 30 MPa, σ_z = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τ_abs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σ_x = 10 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

지름 60 mm인 속이 찬 축이 휨 모멘트 1500 N·m와(과) 토크 500 N·m를 함께 받는다. 휨 응력이 인장이면서 가장 큰 윗면에서 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

d = 60 mmM = 1500 N·mT = 500 N·m

τ_max = MPa

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 40 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 500 mm, E = 100 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.2 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø50 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0.2 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 40 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 300 mm, E = 110 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 40 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø30 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

5 kg 질량이 강성 40 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 270 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 5 kgk = 40 kN/mc = 270 N·s/m

ζ =

12.기계 진동어려움

25 kg 질량이 스프링 k₃ = 30 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 100 kN/m, k₂ = 80 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 25 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: T₁ = 36.22 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/151.8 = 36.22 N·m

답

T₁ = 36.22 N·m

2.기어와 기어열

답: N_D = 40

중간축 속도

n_B = n_C = 1500·12/72 = 250 rpm

기어 D의 잇수

N_D = C·n_C/n_out = 24·250/150 = 40

답

N_D = 40

3.축의 비틀림

답: φ_C = 0.4266 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J₁ = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

각 구간의 비틀림각

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 250000·500/(80000·1.272 × 10⁶) = 0.001228 rad

φ_BC = 250000·500/(80000·251327) = 0.006217 rad

전체 비틀림각

φ_C = 0.001228 + 0.006217 = 0.007445 rad = 0.4266°

답

φ_C = 0.4266°

4.축의 비틀림

답: d = 22.99 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 15000/78.54 = 191 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·190986/(π·80)) = 22.99 mm

답

d = 22.99 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_abs = 36.06 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σ_max − σ_min)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

면내 주응력

C = 30 MPa, R = √((−20)² + 30²) = 36.06 MPa

σ₁ = 66.06 MPa, σ₂ = −6.056 MPa, σ_z = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(72.11, 66.06, 6.056)/2 = 36.06 MPa

답

τ_abs = 36.06 MPa

여기서는 σ₁과 σ₂의 부호가 반대이므로 면내 최댓값 R이 곧 절대 최댓값입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 37.28 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

표면의 응력

σ = 32M/(πd³) = 32·1500000/(π·60³) = 70.74 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·60³) = 11.79 MPa

모어 원

C = σ/2 = 35.37 MPa

R = √(35.37² + 11.79²) = 37.28 MPa

답

τ_max = 37.28 MPa

7.축 응력과 변형률

답: P = 44.09 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·1963) = 2.546 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.2/4.536 × 10⁻⁶ = 44093 N = 44.09 kN

답

P = 44.09 kN

8.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 13.37 MPa

강성

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 110000·706.9/300 = 259181 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 40000·259181/1.097 × 10⁶ = 9451 N

응력

σ₂ = 9451/706.9 = 13.37 MPa (압축)

답

σ₂ = 13.37 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 269.2 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·1500 = 1500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1500² = 269152 N = 269.2 kN

답

P_cr = 269.2 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 19.83 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/15 = 186.7

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/186.7² = 19.83 MPa

답

σ_cr = 19.83 MPa

11.기계 진동

답: ζ = 0.3019

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(40000·5) = 894.4 N·s/m

감쇠비

ζ = c/c_c = 270/894.4 = 0.3019

답

ζ = 0.3019

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: f_n = 5.104 Hz

등가 강성

k₁과 k₂만 병렬입니다. 그 쌍이 k₃와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k₁₂ = 100 + 80 = 180 kN/m

k_eq = 180·30/(180 + 30) = 25.71 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(25714/25) = 32.07 rad/s

f_n = 32.07/(2π) = 5.104 Hz

답

f_n = 5.104 Hz

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