기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
1500 rpm으로 도는 3 kW 모터가 잇수 20개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 30개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 98%이다. 모터 축의 토크 T1을(를) 구하시오.
P = 3 kWn1 = 1500 rpmN1 = 20N2 = 30η = 98%
T1 = N·m
2.기어와 기어열어려움
유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 12개, 각 유성 기어의 잇수는 24개이다. 링 기어는 고정되어 있고 태양 기어는 1500 rpm으로 구동된다. 유성 캐리어의 회전 속도 nc을(를) 구하시오.
Ns = 12Np = 24ns = 1500 rpm
nc = rpm
3.축의 비틀림보통
황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 500 N·md = 30 mmL = 1.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 축이 1800 rpm에서 30 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 30 kWN = 1800 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −80 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = −20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
σx = −80 MPaσy = 100 MPaτxy = −20 MPa
τmax = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 20 MPa, σᵧ = −10 MPa, τₓᵧ = 60 MPa (σz = 0). 폰 미제스 상당 응력 σvM을(를) 구하시오.
σx = 20 MPaσy = −10 MPaτxy = 60 MPa
σvM = MPa
7.축 응력과 변형률보통
강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 80 mm, 안지름 60 mm, E = 70 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 400 mm이며 강체 판 사이에서 100 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.
P = 100 kN막대: Ø40 mm, E = 200 GPa관: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 400 mm
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa, 허용응력 150 MPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 80 mm, 안지름 50 mm, E = 100 GPa, 허용응력 70 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 Pmax을(를) 구하시오.
막대: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPa관: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 110 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 110 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
11.기계 진동보통
감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 40 mm 다음 5주기 뒤에 최댓값 21.3 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.
x0 = 40 mmx5 = 21.3 mmn = 5
ζ =
12.기계 진동어려움
25 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 80 kN/m, k₂ = 10 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 스프링계의 등가 강성 keq을(를) kN/m 단위로 구하시오.
m = 25 kgk1 = 80 kN/mk2 = 10 kN/m
keq = kN/m
3용액
1.기어와 기어열
답: T1 = 19.1 N·m
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
모터 토크
ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 3000/157.1 = 19.1 N·m
답
T1 = 19.1 N·m
2.기어와 기어열
답: nc = 250 rpm
유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.
링 기어 잇수
Nr = Ns + 2·Np = 12 + 2·24 = 60
링 고정일 때의 윌리스 식
nr = 0으로 두고 캐리어 속도를 구합니다.
(1500 − nc)/(0 − nc) = −60/12
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 1500·12/72 = 250 rpm
답
nc = 250 rpm
캐리어는 태양 기어와 같은 방향으로 돕니다.
3.축의 비틀림
답: φ = 13.86 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 500·1000·1500/(39000·79522) = 0.2418 rad
φ = 0.2418·180/π = 13.86°
답
φ = 13.86°
4.축의 비틀림
답: d = 21.64 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 30000/188.5 = 159.2 N·m
허용 응력에서 지름 구하기
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·159155/(π·80)) = 21.64 mm
답
d = 21.64 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
5.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 92.2 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
모어 원의 반지름
τmax = R = √(((−80 − 100)/2)² + −20²) = 92.2 MPa
답
τmax = 92.2 MPa
6.모어 원과 응력 변환
답: σvM = 107.2 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.
주응력
C = 5 MPa, R = 61.85 MPa
σ1 = 66.85 MPa, σ2 = −56.85 MPa, σ3 = 0
폰 미제스
σvM = √(66.85² − 66.85·(−56.85) + (−56.85)²) = 107.2 MPa
답
σvM = 107.2 MPa
7.축 응력과 변형률
답: δ = 0.0987 mm
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
합성 축강성
ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·2199 = 4.053 × 10⁸ N
줄어든 길이
δ = 100000·400/4.053 × 10⁸ = 0.0987 mm
답
δ = 0.0987 mm
8.축 응력과 변형률
답: Pmax = 258.4 kN
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
합성 축강성
ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·3063 = 3.691 × 10⁸ N
지배 변형률
ε = min(0.00075, 0.0007) = 0.0007 (황동)
최대 하중
Pmax = 0.0007·3.691 × 10⁸ = 258396 N = 258.4 kN
답
Pmax = 258.4 kN
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 67.38 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/1250² = 67376 N = 67.38 kN
답
Pcr = 67.38 kN
10.기둥의 좌굴
답: d = 123.6 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2·110000 = 220000 N
KL = 2·3000 = 6000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·220000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 123.6 mm
답
d = 123.6 mm
확인: 세장비 KL/r는 194.1이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
11.기계 진동
답: ζ = 0.02005
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
대수 감쇠율
δ = (1/5)·ln(40/21.3) = 0.126
감쇠비
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.126/√(39.48 + 0.01588) = 0.02005
답
ζ = 0.02005
12.기계 진동
답: keq = 90 kN/m
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k1 + k2.
keq = 80 + 10 = 90 kN/m
답
keq = 90 kN/m
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