기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

두 평행축이 72 mm 떨어져 있다. 두 축을 모듈 2 mm, 감속비 3.5 : 1인 한 쌍의 스퍼 기어로 연결해야 한다. 피니언의 잇수 N₁은(는) 몇 개여야 하는가?

a = 72 mmm = 2 mmi = 3.5

N₁ =

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 1450 rpm의 200 mm 구동 풀리를 400 mm 풀리에 연결하며 중심 간 거리는 800 mm입니다. 마찰계수는 0.25이고 긴장측 장력은 1500 N을 넘을 수 없습니다. 벨트가 미끄러지지 않고 전달할 수 있는 최대 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오(원심력의 영향은 무시).

d₁ = 200 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 400 mmC = 800 mmμ = 0.25T₁ = 1500 N

P = kW

3.축의 비틀림보통

강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 250 N·md = 25 mmL = 0.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

지름 40 mm인 속이 찬 황동 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 2 m 떨어진 B에 토크 1000 N·m이(가), 거기서 0.5 m 더 떨어진 자유단 C에 같은 방향의 토크 200 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 크기 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

d = 40 mmT_B = 1000 N·mT_C = 200 N·mAB = 2 mBC = 0.5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 120 MPa, σᵧ = 80 MPa, τₓᵧ = −40 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θ_p을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σ_x = 120 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 20 MPa, σᵧ = 90 MPa, τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). 재료의 항복 강도는 420 MPa이다. 트레스카(최대 전단 응력) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σ_x = 20 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

7.축 응력과 변형률보통

축하중을 받는 구리 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 55 kNd = 30 mmL = 1.5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 20 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 200 mm, E = 100 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 50 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø40 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 25 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 25 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 25 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)

d = mm

11.기계 진동보통

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 20 mm 다음 한 주기 뒤에 최댓값 15.6 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x₀ = 20 mmx₁ = 15.6 mmn = 1

ζ =

12.기계 진동어려움

25 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 5 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 5 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 25 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: N₁ = 16

기어의 기하: 모듈 m이 이의 크기를 정합니다. 잇수 N인 기어의 피치원 지름은 d = m·N이고, 맞물리는 두 기어는 모듈이 같으며, 중심 거리는 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2입니다. 피치원 속도는 v = π·d·n/60이고, 접선 방향 치면력은 토크에서 나옵니다: F_t = 2T/d.

총 잇수

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·72/2 = 72

비율로 나누기

N₁ = 72/(1 + 3.5) = 16

답

N₁ = 16

2.기어와 기어열

답: P = 11.72 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

접촉각

θ = 2.891 rad

이완측 장력

e^μθ = e^0.7227 = 2.06, T₂ = 1500/2.06 = 728.1 N

전력

P = (1500 − 728.1)·15.18 = 11.72 kW

답

P = 11.72 kW

3.축의 비틀림

답: φ = 2.334 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 250·1000·500/(80000·38350) = 0.04074 rad

φ = 0.04074·180/π = 2.334°

답

φ = 2.334°

4.축의 비틀림

답: φ_C = 14.61 °

내부 토크

T_C의 방향을 양으로 잡습니다.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C + T_B = 200 + 1000 = 1200 N·m

각 구간의 비틀림각

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 1.2 × 10⁶·2000/(39000·251327) = 0.2449 rad

φ_BC = 200000·500/(39000·251327) = 0.0102 rad

끝 C의 비틀림각

φ_C = 0.2449 + 0.0102 = 0.2551 rad → |φ_C| = 14.61°

답

φ_C = 14.61°

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_p = −31.72 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θ_p = atan2(2·−40, 120 − 80) = −63.43°

요소에서의 각도

θ_p = −31.72°

답

θ_p = −31.72°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: n = 4.595

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 55 MPa, R = 36.4 MPa

σ₁ = 91.4 MPa, σ₂ = 18.6 MPa, σ₃ = 0

트레스카

σ_max − σ_min = 91.4 MPa

n = 420/91.4 = 4.595

답

n = 4.595

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.9976 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·30²/4 = 706.9 mm²

σ = P/A = 55·1000/706.9 = 77.81 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 77.81/117000 = 0.000665 = 665 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.000665·1500 mm = 0.9976 mm

답

δ = 0.9976 mm

8.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 29.84 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·314.2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 100000·1257/200 = 628319 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 50000·628319/837758 = 37500 N

응력

σ₂ = 37500/1257 = 29.84 MPa (압축)

답

σ₂ = 29.84 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 5.888 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·1500 = 1500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1500² = 5888 N = 5.888 kN

답

P_cr = 5.888 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 42.68 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2·25000 = 50000 N

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 42.68 mm

답

d = 42.68 mm

확인: 세장비 KL/r는 140.6이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.03951

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/1)·ln(20/15.6) = 0.2485

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2485/√(39.48 + 0.06173) = 0.03951

답

ζ = 0.03951

12.기계 진동

답: f_n = 1.592 Hz

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/5 → k_eq = 5·5/(5 + 5) = 2.5 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(2500/25) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1.592 Hz

답

f_n = 1.592 Hz

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