기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
160 mm 풀리가 1440 rpm으로 돌며 미끄러짐 3 %인 벨트로 200 mm 풀리를 구동합니다. 종동 풀리의 속도 n2을(를) 구하시오.
n1 = 1440 rpmd1 = 160 mmd2 = 200 mms = 3 %
n2 = rpm
2.기어와 기어열어려움
2900 rpm의 7.5 kW 모터가 기어 A(잇수 32개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 60개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 12개)는 출력축의 기어 D(잇수 25개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 95%이다. 출력 토크 Tout을(를) 구하시오.
P = 7.5 kWnin = 2900 rpmA = 32B = 60C = 12D = 25ηmesh = 95%
Tout = N·m
3.축의 비틀림보통
강철 중공축(바깥지름 50 mm, 안지름 38 mm, 길이 1 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 200 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.
T = 200 N·mdo = 50 mmdi = 38 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 강철 축이 1000 rpm에서 15 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 40 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 0.75°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 40 MPaθallow = 0.75°/mG = 80 GPa
d = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 20 MPa, σᵧ = −60 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
σx = 20 MPaσy = −60 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 80 MPa, σᵧ = −30 MPa, τₓᵧ = 50 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 30° 회전한 면의 전단 응력 τθ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).
σx = 80 MPaσy = −30 MPaτxy = 50 MPaθ = -30°
τθ = MPa
7.축 응력과 변형률보통
축하중을 받는 강철 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 60 kNd = 16 mmL = 2.5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
강철 구간(지름 20 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 500 mm, E = 100 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 60 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.
구간 1: 강철, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø40 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 60 kN
σ2 = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 95 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 95 kNn = 2.5L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
11.기계 진동보통
강성 12 kN/m인 스프링에 달린 15 kg 질량에 감쇠비 0.7을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 fd을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 15 kgk = 12 kN/mζ = 0.7
fd = Hz
12.기계 진동어려움
50 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 80 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 20 kN/m이다. 스프링계의 등가 강성 keq을(를) kN/m 단위로 구하시오.
m = 50 kgk1 = 80 kN/mk2 = 20 kN/m
keq = kN/m
3용액
1.기어와 기어열
답: n2 = 1117 rpm
벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.
미끄러짐 없을 때의 속도
1440·160/200 = 1152 rpm
미끄러짐이 있을 때
n2 = 1152·0.97 = 1117 rpm
답
n2 = 1117 rpm
2.기어와 기어열
답: Tout = 87.06 N·m
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
출력 회전 속도
nout = 2900·(32/60)·(12/25) = 742.4 rpm
ωout = 2π·742.4/60 = 77.74 rad/s
출력 동력과 토크
Pout = 7500·0.95² = 6769 W
Tout = Pout/ωout = 6769/77.74 = 87.06 N·m
답
Tout = 87.06 N·m
3.축의 비틀림
답: φ = 0.3503 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴
비틀림각
T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 200000·1000/(80000·408885) = 0.006114 rad
φ = 0.006114·180/π = 0.3503°
답
φ = 0.3503°
4.축의 비틀림
답: d = 34.36 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 15000/104.7 = 143.2 N·m
강도 기준 지름
T = 143.2 N·m = 143239 N·mm
dτ = ∛(16·143239/(π·40)) = 26.32 mm
강성 기준 지름
θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·143239/(π·80000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 34.36 mm
지배 지름
두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.
d = max(26.32, 34.36) = 34.36 mm
답
d = 34.36 mm
여기서는 강성이 지배합니다.
5.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 50 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
모어 원의 반지름
τmax = R = √(((20 − −60)/2)² + 30²) = 50 MPa
답
τmax = 50 MPa
6.모어 원과 응력 변환
답: τθ = 72.63 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
τθ = −55·−0.866 + 50·0.5 = 72.63 MPa
답
τθ = 72.63 MPa
7.축 응력과 변형률
답: δ = 3.73 mm
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 60·1000/201.1 = 298.4 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 298.4/200000 = 0.001492 = 1492 µε
늘음량
δ = ε·L = 0.001492·2500 mm = 3.73 mm
답
δ = 3.73 mm
8.축 응력과 변형률
답: σ2 = 33.7 MPa
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
강성
k₁ = 200000·314.2/600 = 104720 N/mm
k₂ = 100000·1257/500 = 251327 N/mm
구간 2의 몫
F2 = 60000·251327/356047 = 42353 N
응력
σ2 = 42353/1257 = 33.7 MPa (압축)
답
σ2 = 33.7 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 2.559 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/3000² = 2559 N = 2.559 kN
답
Pcr = 2.559 kN
10.기둥의 좌굴
답: d = 102.9 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2.5·95000 = 237500 N
KL = 1·4000 = 4000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·237500·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 102.9 mm
답
d = 102.9 mm
확인: 세장비 KL/r는 155.5이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
11.기계 진동
답: fd = 3.215 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
비감쇠 고유 진동수
ωn = √(12000/15) = 28.28 rad/s
fn = 28.28/(2π) = 4.502 Hz
감쇠 고유 진동수
fd = fn·√(1 − ζ²) = 4.502·√(1 − 0.7²) = 3.215 Hz
답
fd = 3.215 Hz
12.기계 진동
답: keq = 16 kN/m
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/80 + 1/20 → keq = 80·20/(80 + 20) = 16 kN/m
답
keq = 16 kN/m
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