기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
Tw​ = ?z = 2, 2900 rpm

2900 rpm의 0.55 kW 모터가 줄 수 2인 웜을 구동한다. 웜 휠의 잇수는 48개이고 구동 장치의 효율은 85%이다. 휠 축의 출력 토크 Tw을(를) 구하시오.

z = 2Nw = 48n = 2900 rpmP = 0.55 kWη = 85%
Tw = N·m
2.기어와 기어열어려움
A = 60B = 72C = 30D = 80

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 60개)가 1440 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 72개)를 구동한다. 기어 C(잇수 30개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 80개)를 구동한다. 출력 속도 nout을(를) 구하시오.

nin = 1440 rpmA = 60B = 72C = 30D = 80
nout = rpm
3.축의 비틀림보통
T = 250 N·md = 50 mmL = 2.5 mφ = ?

황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 250 N·md = 50 mmL = 2.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
Td = ?

속이 찬 축이 300 rpm에서 30 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 60 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 30 kWN = 300 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 90σy​ = −50τxy​ = 40MPa

한 점에서 σₓ = 90 MPa, σᵧ = −50 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θs을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σx = 90 MPaσy = −50 MPaτxy = 40 MPa
θs = °
6.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 20σy​ = 80τxy​ = −40MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 20 MPa, σᵧ = 80 MPa, τₓᵧ = −40 MPa (σz = 0). 폰 미제스 상당 응력 σvM을(를) 구하시오.

σx = 20 MPaσy = 80 MPaτxy = −40 MPa
σvM = MPa
7.축 응력과 변형률보통
250 kNØ20100 GPaØ100/70300 mmδ = ?

강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 70 mm, E = 100 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 300 mm이며 강체 판 사이에서 250 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 250 kN막대: Ø20 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 300 mm
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
P = ?Ø2070 GPaØ100/60300 mm

강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa, 허용응력 150 MPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 60 mm, E = 70 GPa, 허용응력 100 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 Pmax을(를) 구하시오.

막대: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPa관: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
9.기둥의 좌굴보통
PL = 4 m30 × 100 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 200 GPa (강철)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
PL = 2.5 md = 50 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm
σcr = MPa
11.기계 진동보통
k = 150 kN/mc = 4650 N·s/mm = 100 kg

100 kg 질량이 강성 150 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 4650 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 100 kgk = 150 kN/mc = 4650 N·s/m
ζ =
12.기계 진동어려움
k1​ = 40k2​ = 40m = 5 kg

5 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 40 kN/m, k₂ = 40 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 5 kgk1 = 40 kN/mk2 = 40 kN/m
fn = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: Tw = 36.95 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

휠 속도

nw = n·z/Nw = 2900·2/48 = 120.8 rpm

출력 토크

ωw = 2π·120.8/60 = 12.65 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0.85·550/12.65 = 36.95 N·m

답

Tw = 36.95 N·m
2.기어와 기어열

답: nout = 450 rpm

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

1단

nB = 1440·60/72 = 1200 rpm = nC

2단

nout = 1200·30/80 = 450 rpm

답

nout = 450 rpm

전체 기어비 = 3.2 : 1

3.축의 비틀림

답: φ = 1.496 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2500/(39000·613592) = 0.02612 rad
φ = 0.02612·180/π = 1.496°

답

φ = 1.496°
4.축의 비틀림

답: d = 43.28 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 30000/31.42 = 954.9 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·954930/(π·60)) = 43.28 mm

답

d = 43.28 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: θs = −30.13 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCτmax​

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θs = 40/80.62 = 0.4961, sin 2θs = −70/80.62 = −0.8682
2θs = atan2(−70, 40) = −60.26°

요소에서의 각도

θs = −30.13°
검산: θs − θp = −30.13 − 14.87 = −45°

답

θs = −30.13°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σvM = 100 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

στxyCσ1​σ2​

주응력

C = 50 MPa, R = 50 MPa
σ1 = 100 MPa, σ2 = 0 MPa, σ3 = 0

폰 미제스

σvM = √(100² − 100·0 + 0²) = 100 MPa

답

σvM = 100 MPa
7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.1619 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·4006 = 4.634 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 250000·300/4.634 × 10⁸ = 0.1619 mm

답

δ = 0.1619 mm
8.축 응력과 변형률

답: Pmax = 311 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·5027 = 4.147 × 10⁸ N

지배 변형률

ε = min(0.00075, 0.001429) = 0.00075 (강철)

최대 하중

Pmax = 0.00075·4.147 × 10⁸ = 311018 N = 311 kN

답

Pmax = 311 kN
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 56.65 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/2800² = 56650 N = 56.65 kN

답

Pcr = 56.65 kN
10.기둥의 좌굴

답: σcr = 12.34 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 2·2500 = 5000 mm
KL/r = 5000/12.5 = 400

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa

답

σcr = 12.34 MPa
11.기계 진동

답: ζ = 0.6003

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

cc = 2·√(k·m) = 2·√(150000·100) = 7746 N·s/m

감쇠비

ζ = c/cc = 4650/7746 = 0.6003

답

ζ = 0.6003

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: fn = 20.13 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k1 + k2.

keq = 40 + 40 = 80 kN/m

고유 진동수

ωn = √(80000/5) = 126.5 rad/s
fn = 126.5/(2π) = 20.13 Hz

답

fn = 20.13 Hz

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