기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

1440 rpm으로 도는 1.5 kW 모터가 잇수 40개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 72개인 기어와 맞물려 있다. 손실은 무시한다. 기어 축의 출력 토크 T₂을(를) 구하시오.

P = 1.5 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 40N₂ = 72η = 100%

T₂ = N·m

2.기어와 기어열어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 18개)가 960 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 72개)를 구동한다. 기어 C(잇수 16개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 36개)를 구동한다. 출력 속도 n_out을(를) 구하시오.

n_in = 960 rpmA = 18B = 72C = 16D = 36

n_out = rpm

3.축의 비틀림보통

비틀림 시험에서 지름 10 mm인 속이 찬 시편에 토크 20 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 200 mm의 양 끝이 서로 5.99° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.

T = 20 N·md = 10 mmL = 200 mmφ = 5.99°

G = GPa

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 750 rpm에서 10 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 10 kWN = 750 rpmd_o = 60 mmd_i = 42 mm

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −70 MPa, σᵧ = −70 MPa, τₓᵧ = −60 MPa, σ_z = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τ_abs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σ_x = −70 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −40 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = −50 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 20° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = −40 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 25 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 500 mm, E = 120 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.3 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0.3 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 15 kN구간 1: Ø25 mm, 1.5 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø12 mm, 0.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)

δ = mm

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)d = 20 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

25 kg 질량이 강성 25 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 240 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 25 kgk = 25 kN/mc = 240 N·s/m

ζ =

12.기계 진동어려움

20 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 60 kN/m, k₂ = 50 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 스프링계의 등가 강성 k_eq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 20 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: T₂ = 17.9 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/150.8 = 9.947 N·m

출력 토크

T₂ = 9.947·72/40·1 = 17.9 N·m

답

T₂ = 17.9 N·m

2.기어와 기어열

답: n_out = 106.7 rpm

1단

n_B = 960·18/72 = 240 rpm = n_C

2단

n_out = 240·16/36 = 106.7 rpm

답

n_out = 106.7 rpm

전체 기어비 = 9 : 1

3.축의 비틀림

답: G = 38.97 GPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트와 각

J = π·10⁴/32 = 981.7 mm⁴

φ = 5.99·π/180 = 0.1045 rad

전단 탄성 계수

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·200/(981.7·0.1045) = 38972 MPa

G = 38.97 GPa

답

G = 38.97 GPa

비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.

4.축의 비틀림

답: τ_max = 3.951 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 10000/78.54 = 127.3 N·m

극관성 모멘트

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 127324·30/966855 = 3.951 MPa

답

τ_max = 3.951 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_abs = 65 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σ_max − σ_min)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

면내 주응력

C = −70 MPa, R = √(0² + (−60)²) = 60 MPa

σ₁ = −10 MPa, σ₂ = −130 MPa, σ_z = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(120, 10, 130)/2 = 65 MPa

답

τ_abs = 65 MPa

여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = −0.842 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σ_θ = −10 + −30·0.766 + −50·−0.6428 = −0.842 MPa

답

σ_θ = −0.842 MPa

7.축 응력과 변형률

답: P = 40.59 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1257 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490.9) = 4.074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1257) = 3.316 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.3/7.39 × 10⁻⁶ = 40595 N = 40.59 kN

답

P = 40.59 kN

8.축 응력과 변형률

답: δ = 1.406 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 30.56 MPa

σ₂ = 132.6 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 30.56·1500/100000 = 0.4584 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 132.6·500/70000 = 0.9474 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1.406 mm

답

δ = 1.406 mm

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 5.062 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1750² = 5062 N = 5.062 kN

답

P_cr = 5.062 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 1.974 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/10 = 1000

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/1000² = 1.974 MPa

답

σ_cr = 1.974 MPa

11.기계 진동

답: ζ = 0.1518

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(25000·25) = 1581 N·s/m

감쇠비

ζ = c/c_c = 240/1581 = 0.1518

답

ζ = 0.1518

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: k_eq = 110 kN/m

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 60 + 50 = 110 kN/m

답

k_eq = 110 kN/m

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