기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
벨트가 125 mm 구동 풀리 위를 1450 rpm으로 달립니다. 장력은 긴장측 500 N, 이완측 125 N입니다. 전달 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.
d1 = 125 mmn1 = 1450 rpmT1 = 500 NT2 = 125 N
P = kW
2.기어와 기어열어려움
유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 30개, 각 유성 기어의 잇수는 15개이다. 유성 캐리어는 고정되어 있고 태양 기어는 1800 rpm으로 구동된다. 링 기어의 회전 속도 nr(크기)을(를) 구하시오.
Ns = 30Np = 15ns = 1800 rpm
nr = rpm
3.축의 비틀림보통
단이 진 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 40 mm, 길이 2.5 m이고, 구간 BC는 지름 25 mm, 길이 0.8 m이다. 자유단 C에 토크 400 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
T = 400 N·md1 = 40 mm, L1 = 2.5 md2 = 25 mm, L2 = 0.8 m
τmax = MPa
4.축의 비틀림어려움
속이 빈 축이 1450 rpm에서 10 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
P = 10 kWN = 1450 rpmdo = 40 mmdi = 28 mm
τmax = MPa
5.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −60 MPa, σᵧ = 10 MPa, τₓᵧ = 10 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
σx = −60 MPaσy = 10 MPaτxy = 10 MPa
τmax = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 70 MPa, σᵧ = 90 MPa, τₓᵧ = −40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 40° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.
σx = 70 MPaσy = 90 MPaτxy = −40 MPaθ = 40°
σθ = MPa
7.축 응력과 변형률보통
막대가 강철 구간(지름 30 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 500 mm, E = 100 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.5 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.
구간 1: 강철, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø40 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0.5 mm
P = kN
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 15 kN구간 1: Ø30 mm, 0.5 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1 m, 강철 (E = 200 GPa)
σmax = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 4 mE = 200 GPa (강철)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 140 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 140 kNn = 2L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
11.기계 진동보통
15 kg 질량이 강성 200 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 1040 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.
m = 15 kgk = 200 kN/mc = 1040 N·s/m
ζ =
12.기계 진동어려움
25 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 10 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 12 kN/m이다. 스프링계의 등가 강성 keq을(를) kN/m 단위로 구하시오.
m = 25 kgk1 = 10 kN/mk2 = 12 kN/m
keq = kN/m
3용액
1.기어와 기어열
답: P = 3.559 kW
벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.
벨트 속도
v = 9.49 m/s
전력
P = (500 − 125)·9.49 = 3559 W = 3.559 kW
답
P = 3.559 kW
2.기어와 기어열
답: nr = 900 rpm
유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.
링 기어 잇수
Nr = Ns + 2·Np = 30 + 2·15 = 60
캐리어 고정일 때의 윌리스 식
nc = 0이면 태양 기어가 아이들 기어 역할을 하는 유성 기어를 통해 링을 구동합니다.
nr = −ns·Ns/Nr = −1800·30/60 = −900 rpm
|nr| = 900 rpm
답
nr = 900 rpm
링은 태양 기어와 반대 방향으로 돕니다.
3.축의 비틀림
답: τmax = 130.4 MPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
각 구간의 응력
T = 400 N·m = 400000 N·mm
τAB = 16·400000/(π·40³) = 31.83 MPa
τBC = 16·400000/(π·25³) = 130.4 MPa
답
τmax = 130.4 MPa
4.축의 비틀림
답: τmax = 6.897 MPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 10000/151.8 = 65.86 N·m
극관성 모멘트
J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴
최대 전단 응력
τmax = T·(do/2)/J = 65857·20/190984 = 6.897 MPa
답
τmax = 6.897 MPa
5.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 36.4 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
모어 원의 반지름
τmax = R = √(((−60 − 10)/2)² + 10²) = 36.4 MPa
답
τmax = 36.4 MPa
6.모어 원과 응력 변환
답: σθ = 38.87 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
σθ = 80 + −10·0.1736 + −40·0.9848 = 38.87 MPa
답
σθ = 38.87 MPa
7.축 응력과 변형률
답: P = 73.44 kN
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1257 mm²
유연도
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706.9) = 2.829 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·1257) = 3.979 × 10⁻⁶ mm/N
하중
P = 0.5/6.808 × 10⁻⁶ = 73440 N = 73.44 kN
답
P = 73.44 kN
8.축 응력과 변형률
답: σmax = 132.6 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 21.22 MPa
σ2 = 132.6 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 132.6 MPa
답
σmax = 132.6 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 32.78 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/2800² = 32783 N = 32.78 kN
답
Pcr = 32.78 kN
10.기둥의 좌굴
답: d = 42.25 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2·140000 = 280000 N
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·280000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 42.25 mm
답
d = 42.25 mm
확인: 세장비 KL/r는 99.41이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
11.기계 진동
답: ζ = 0.3002
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
임계 감쇠
cc = 2·√(k·m) = 2·√(200000·15) = 3464 N·s/m
감쇠비
ζ = c/cc = 1040/3464 = 0.3002
답
ζ = 0.3002
ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.
12.기계 진동
답: keq = 5.455 kN/m
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/10 + 1/12 → keq = 10·12/(10 + 12) = 5.455 kN/m
답
keq = 5.455 kN/m
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