기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

960 rpm으로 도는 5.5 kW 모터가 잇수 18개, 모듈 5 mm인 피니언을 구동한다. 피니언 이에 작용하는 접선력 F_t을(를) 구하시오.

P = 5.5 kWn = 960 rpmN₁ = 18m = 5 mm

F_t = N

2.기어와 기어열어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 72개)가 3000 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 80개)를 구동한다. 기어 C(잇수 24개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 25개)를 구동한다. 출력 속도 n_out을(를) 구하시오.

n_in = 3000 rpmA = 72B = 80C = 24D = 25

n_out = rpm

3.축의 비틀림보통

길이 2 m인 속이 찬 강철 축이 토크 400 N·m을(를) 받는다. 양 끝 사이의 비틀림각은 1°를 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

T = 400 N·mL = 2 mG = 80 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.축의 비틀림어려움

중공축이 3000 rpm에서 15 kW을(를) 전달해야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.75배로 하고, 전단 응력은 40 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 d_o을(를) 구하시오.

P = 15 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0.75τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 90 MPa, σᵧ = −30 MPa, τₓᵧ = 50 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θ_p을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σ_x = 90 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −30 MPa, σᵧ = −80 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 35° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = −30 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 40 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 300 mm, E = 100 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.25 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø40 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0.25 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 10 kN구간 1: Ø25 mm, 1.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø12 mm, 2 m, 황동 (E = 100 GPa)

δ = mm

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 140 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 140 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.기계 진동보통

강성 150 kN/m인 스프링에 달린 20 kg 질량에 감쇠비 0.6을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 20 kgk = 150 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

40 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 10 kN/m, k₂ = 20 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 스프링계의 등가 강성 k_eq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 40 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: F_t = 1216 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

피니언의 토크

ω = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T = P/ω = 5500/100.5 = 54.71 N·m

피치원 지름

d = m·N = 5·18 = 90 mm

접선력

F_t = 2T/d = 2·54.71/0.09 = 1216 N

답

F_t = 1216 N

2.기어와 기어열

답: n_out = 2592 rpm

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

1단

n_B = 3000·72/80 = 2700 rpm = n_C

2단

n_out = 2700·24/25 = 2592 rpm

답

n_out = 2592 rpm

전체 기어비 = 1.157 : 1

3.축의 비틀림

답: d = 49.15 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

필요한 극관성 모멘트

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 1·π/180 = 0.01745 rad

J = TL/(Gφ) = 400000·2000/(80000·0.01745) = 572958 mm⁴

지름

d = (32J/π)^1/4 = 49.15 mm

답

d = 49.15 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

4.축의 비틀림

답: d_o = 20.72 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 15000/314.2 = 47.75 N·m

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 47.75 N·m = 47746 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·47746/(π·40·0.6836)) = 20.72 mm

d_i = 0.75·20.72 = 15.54 mm

답

d_o = 20.72 mm

속이 찬 축이라면 d = 18.25 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_p = 19.9 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θ_p = atan2(2·50, 90 − −30) = 39.81°

요소에서의 각도

θ_p = 19.9°

답

θ_p = 19.9°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = −18.26 MPa

변환 식

σ_θ = −55 + 25·0.342 + 30·0.9397 = −18.26 MPa

답

σ_θ = −18.26 MPa

7.축 응력과 변형률

답: P = 69.81 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1.194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·1257) = 2.387 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.25/3.581 × 10⁻⁶ = 69813 N = 69.81 kN

답

P = 69.81 kN

8.축 응력과 변형률

답: δ = 2.205 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 20.37 MPa

σ₂ = 88.42 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 20.37·1500/70000 = 0.4365 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 88.42·2000/100000 = 1.768 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2.205 mm

답

δ = 2.205 mm

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 21.06 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·2500 = 2500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/2500² = 21055 N = 21.06 kN

답

P_cr = 21.06 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 158.1 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·140000 = 420000 N

KL = 2·6000 = 12000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·420000·12000²/(π³·200000))^(1/4) = 158.1 mm

답

d = 158.1 mm

확인: 세장비 KL/r는 303.7이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: f_d = 11.03 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(150000/20) = 86.6 rad/s

f_n = 86.6/(2π) = 13.78 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 13.78·√(1 − 0.6²) = 11.03 Hz

답

f_d = 11.03 Hz

12.기계 진동

답: k_eq = 30 kN/m

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 20 = 30 kN/m

답

k_eq = 30 kN/m

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