기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

2900 rpm으로 도는 3 kW 모터가 잇수 32개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 50개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 98%이다. 모터 축의 토크 T₁을(를) 구하시오.

P = 3 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 32N₂ = 50η = 98%

T₁ = N·m

2.기어와 기어열어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 12개)가 2900 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 50개)를 구동한다. 기어 C(잇수 20개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 25개)를 구동한다. 출력 속도 n_out을(를) 구하시오.

n_in = 2900 rpmA = 12B = 50C = 20D = 25

n_out = rpm

3.축의 비틀림보통

중공축이 토크 750 N·m을(를) 받아야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.75배로 하고, 전단 응력은 75 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 d_o을(를) 구하시오.

T = 750 N·md_i/d_o = 0.75τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.축의 비틀림어려움

지름 30 mm인 속이 찬 알루미늄 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 1 m, B에서 1.5 m 떨어진 C에 토크 100 N·m이(가) 가해진다. 벽 A의 반력 토크 T_A을(를) 구하시오.

d = 30 mmT₀ = 100 N·ma = 1 mb = 1.5 m

T_A = N·m

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 40 MPa, σᵧ = 40 MPa이다. 최대 주응력이 70 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τ_xy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?

σ_x = 40 MPaσ_y = 40 MPaσ₁ = 70 MPa

τ_xy = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

안지름 800 mm, 벽 두께 15 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 2.5 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 20°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매를 따라 작용하는 전단 응력 크기 |τ_n|을(를) 구하시오.

D = 800 mmt = 15 mmp = 2.5 MPaα = 20°

|τ_n| = MPa

7.축 응력과 변형률보통

구리 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 120 kNd = 16 mmL = 2.5 mE = 117 GPa

ε = µε

8.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 40 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 200 mm, E = 110 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 40 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 200 GPa (강철)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 30 mm 다음 2주기 뒤에 최댓값 8.5 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x₀ = 30 mmx₂ = 8.5 mmn = 2

ζ =

12.기계 진동어려움

20 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 60 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 12 kN/m이다. 스프링계의 등가 강성 k_eq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 20 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: T₁ = 9.879 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/303.7 = 9.879 N·m

답

T₁ = 9.879 N·m

2.기어와 기어열

답: n_out = 556.8 rpm

1단

n_B = 2900·12/50 = 696 rpm = n_C

2단

n_out = 696·20/25 = 556.8 rpm

답

n_out = 556.8 rpm

전체 기어비 = 5.208 : 1

3.축의 비틀림

답: d_o = 42.08 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 750 N·m = 750000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·75·0.6836)) = 42.08 mm

d_i = 0.75·42.08 = 31.56 mm

답

d_o = 42.08 mm

속이 찬 축이라면 d = 37.07 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

4.축의 비틀림

답: T_A = 60 N·m

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 T_A + T_B = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

T_A + T_B = 100

T_A·a = T_B·b

T_A = 100·1.5/2.5 = 60 N·m

T_B = 100·1/2.5 = 40 N·m

답

T_A = 60 N·m

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_xy = 30 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

필요한 반지름

C = (40 + 40)/2 = 40 MPa

R = σ₁ − C = 70 − 40 = 30 MPa

전단 응력

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(30² − 0²) = 30 MPa

답

τ_xy = 30 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: |τ_n| = 10.71 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σ_h = pr/t, 축 응력 σ_a = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 2.5·400/15 = 66.67 MPa

σ_a = pr/(2t) = 33.33 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σ_a), y를 원주 방향(σ_h)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

|τ_n| = (66.67 − 33.33)·sin 20°·cos 20° = 10.71 MPa

답

|τ_n| = 10.71 MPa

7.축 응력과 변형률

답: ε = 5101 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 120·1000/201.1 = 596.8 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 596.8/117000 = 0.005101 = 5101 µε

답

ε = 5101 µε

8.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 19.82 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm

k₂ = 110000·1257/200 = 691150 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 40000·691150/1.11 × 10⁶ = 24906 N

응력

σ₂ = 24906/1257 = 19.82 MPa (압축)

답

σ₂ = 19.82 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 5.829 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·4000 = 4000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/4000² = 5829 N = 5.829 kN

답

P_cr = 5.829 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 126.3 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/20 = 125

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/125² = 126.3 MPa

답

σ_cr = 126.3 MPa

11.기계 진동

답: ζ = 0.09986

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/2)·ln(30/8.5) = 0.6306

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6306/√(39.48 + 0.3976) = 0.09986

답

ζ = 0.09986

12.기계 진동

답: k_eq = 10 kN/m

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/60 + 1/12 → k_eq = 60·12/(60 + 12) = 10 kN/m

답

k_eq = 10 kN/m

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